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等價關係（equivalence relation）即设R{displaystyle R}是某個集合A{displaystyle A}上的一个二元关系。若R{displaystyle R}满足以下條件：

1. 自反性：∀x∈A,  xRx{displaystyle forall xin A,~~xRx}
   


2. 对称性：∀x,y∈A,  xRy  ⟹  yRx{displaystyle forall x,yin A,~~xRy~~implies ~~yRx}
   


3. 传递性：∀x,y,z∈A,   (xRy  ∧  yRz)  ⟹  xRz{displaystyle forall x,y,zin A,~~~(xRy~~wedge ~~yRz)~~implies ~~xRz}
   

则称R{displaystyle R}是一個定义在A{displaystyle A}上的等价关系。習慣上會把等價關係的符號由R{displaystyle R}改寫為∼{displaystyle sim }。

例如，设A={1,2,…,8}{displaystyle A={1,2,ldots ,8}}，定义A{displaystyle A}上的关系R{displaystyle R}如下：

xRy⟺∀x,y∈A, x≡y(mod3){displaystyle xRyiff forall x,yin A,~xequiv y{pmod {3}}}

其中x≡y(mod3){displaystyle xequiv y{pmod {3}}}叫做x{displaystyle x}与y{displaystyle y}模3 同餘，即x{displaystyle x}除以3的餘数与y{displaystyle y}除以3的餘数相等。例子有1R4, 2R5, 3R6。不难验证R{displaystyle R}为A{displaystyle A}上的等价关系。

并非所有的二元關係都是等價關係。一個簡單的反例是比較兩個數中哪個較大：

• 沒有自反性：任何一個數不能比自身為較大（n≯n{displaystyle nngtr n}）


• 沒有對稱性：如果m>n{displaystyle m>n}，就肯定不能有n>m{displaystyle n>m}
  

不是等价关系的关系的例子

• 实数之间的"≥"关系满足自反性和传递性，但不满足对称性。例如，7 ≥ 5 无法推出 5 ≥ 7。它是一种全序关系。

参见

參考文獻

外部連結

• 
  Hazewinkel, Michiel (编), Equivalence relation, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
  


• Bogomolny, A., "Equivalence Relationship" cut-the-knot. Accessed 1 September 2009


• 
  Equivalence relation at PlanetMath


• 
  Binary matrices representing equivalence relations at OEIS.