布尔函数
在数学中，布尔函数（Boolean function）描述如何基于对布尔输入的某种逻辑计算确定布尔值输出。它们在复杂性理论的问题和数字计算机的芯片设计中扮演基础角色。布尔函数的性质在密码学中扮演关键角色，特别是在对称密钥算法的设计中（参见S-box）。
目录
1 有限布尔函数
2 代数范式
3 参见
4 外部链接
有限布尔函数
在数学中，有限布尔函数是如下形式的函数f : Bk → B，这里的B = {0, 1}是布尔域，而k是非负整数。在k = 0的情况下，函数简单的是B的一个恒定元素。
更一般的说，形如f : X → B函数，这里的X是任意集合，是布尔值函数。如果X = M = {1, 2, 3, …}，则f是“二进制序列”，就是说0和1的无限序列。如果X = [k] = {1, 2, 3, …, k}，则f是长度为k的“二进制序列”
有22k{displaystyle 2^{2^{k}}}
代数范式
布尔函数可以唯一的写为积（AND）之和（XOR）。这叫做代数范式（ANF），也叫做Zhegalkin多项式。
f(x1,x2,…,xn)={displaystyle f(x_{1},x_{2},ldots ,x_{n})=!}  | a0+{displaystyle a_{0}+!}  |
a1x1+a2x2+…+anxn+{displaystyle a_{1};x_{1}+a_{2};x_{2}+ldots +a_{n};x_{n}+!}  | |
a1,2x1x2+…+an−1,nxn−1xn+{displaystyle a_{1,2};x_{1}x_{2}+ldots +a_{n-1,n};x_{n-1}x_{n}+!}  | |
………+{displaystyle ldots quad ldots quad ldots +!}  | |
a1,2,…,nx1x2…xn{displaystyle a_{1,2,ldots ,n};x_{1}x_{2}ldots x_{n}!}  |
这里的a0,a1,…,a1,2,…,n∈{0,1}∗{displaystyle a_{0},a_{1},ldots ,a_{1,2,ldots ,n}in {0,1}^{*}}
序列a0,a1,…,a1,2,…,n{displaystyle a_{0},a_{1},ldots ,a_{1,2,ldots ,n}}
布尔函数的代数次数被定义为出现在乘积项中的xi{displaystyle x_{i}}
对于每个函数f{displaystyle f}
f(x1,x2,…,xn)=g(x2,…,xn)+x1h(x2,…,xn){displaystyle f(x_{1},x_{2},ldots ,x_{n})=g(x_{2},ldots ,x_{n})+x_{1}h(x_{2},ldots ,x_{n})}，
这里的g(x2,…,xn)=f(0,x2,…,xn){displaystyle g(x_{2},ldots ,x_{n})=f(0,x_{2},ldots ,x_{n})}
实际上，
- 如果x1=0{displaystyle x_{1}=0}
，则x1h=0{displaystyle x_{1}h=0}
，并因此f(0,…)=f(0,…){displaystyle f(0,ldots )=f(0,ldots )}
；
- 如果x1=1{displaystyle x_{1}=1}
，则x1h=h{displaystyle x_{1}h=h}
，并因此f(1,…)=f(0,…)+f(0,…)+f(1,…){displaystyle f(1,ldots )=f(0,ldots )+f(0,ldots )+f(1,ldots )}
。
因为g{displaystyle g}
例如，让我们构造一个f(x,y)=x∨y{displaystyle f(x,y)=xlor y}
f(x,y)=f(0,y)+x(f(0,y)+f(1,y){displaystyle f(x,y)=f(0,y)+x(f(0,y)+f(1,y)}；
- 因为f(0,y)=0∨y=y{displaystyle f(0,y)=0lor y=y}
并且f(1,y)=1∨y=1{displaystyle f(1,y)=1lor y=1}
，可以得出f(x,y)=y+x(y+1){displaystyle f(x,y)=y+x(y+1)}
；
- 通过打开括号我们得到最终的ANF：f(x,y)=y+xy+x=x+y+xy{displaystyle f(x,y)=y+xy+x=x+y+xy}
。
参见
- 布尔代数主题列表
- 真值函数
- 零阶逻辑
外部链接
Boolean Planet[永久失效連結]—boolean functions in cryptography.
