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在數學的領域中，若兩個数学对象在各个方面都相同，则称他们是相等的。这就定义了一个二元谓词等于，写作“={displaystyle =}”；x=y{displaystyle x=y}当且仅当x{displaystyle x}和y{displaystyle y}相等。通常意义上，等于是通过两个元素间的等价关系来构造的。将两个表达式用等于符号连起来，就构成了等式，例如6−2=4{displaystyle 6-2=4}，即6−2{displaystyle 6-2}與4{displaystyle 4}是相等的。

注意，有些时候“A=B{displaystyle A=B}”并不表示等式。例如，T(n)=O(n2){displaystyle T(n)=O(n^{2})}表示在数量级n2{displaystyle n^{2}}上渐进。因為这裡的符号“={displaystyle =}”不滿足若且唯若的定義，所以它不等於等于符号；实际上，O(n2)=T(n){displaystyle O(n^{2})=T(n)}是没有意义的。请参见大O符号了解这部分内容。

集合A{displaystyle A}上的等于关系是种二元关系，满足自反性，对称性，反对称性和传递性。
实际上，这是A{displaystyle A} 上唯一满足所有这些性质的关系。
去掉对反对称性的要求，就是等价关系。
相应的，给定任意等价关系R{displaystyle R}，可以构造商集A/R{displaystyle A/R}，并且这个等价关系将‘下降为’A/R{displaystyle A/R}上的等于。

在任何条件下都成立的等式称为恒等式，包含未知数的等式称为方程式。

邏輯形式

謂詞邏輯含有標準的關於相等的公理來形式化萊布尼茨律。萊布尼茨律是由哲學家萊布尼茨在17世紀提出來的。
萊布尼茨的想法是，兩樣物體是同一的，當且僅當它們有完全相同的性質。
形式化這一說法，可以寫成

對任意x{displaystyle x}和y{displaystyle y}，x=y{displaystyle x=y}當且僅當對任意謂詞P{displaystyle P} ，P(x){displaystyle P(x)}當且僅當P(y){displaystyle P(y)}。

然而，在一階邏輯中，不能對謂詞進行量化。因此，需要使用下述公理：

對任意x{displaystyle x}和y{displaystyle y}，若x{displaystyle x}等於y{displaystyle y}，則P(x){displaystyle P(x)}當且僅當P(y){displaystyle P(y)}。

這條公理對任意單變量的謂詞P{displaystyle P}都有效，但只定義了萊布尼茨律的一個方向：若x{displaystyle x}和y{displaystyle y}相等，則它們具有相同的性質。
可以通過簡單的假設來定義萊布尼茨律的另一個方向：

對任意x{displaystyle x}，x{displaystyle x}等於x{displaystyle x}。

則若x{displaystyle x}和y{displaystyle y}具有相同的性質，則特定的它們關於謂詞P{displaystyle P}是相同的。這裡謂詞P{displaystyle P}為：P(z){displaystyle P(z)}當且僅當x=z{displaystyle x=z}。
由於P(x){displaystyle P(x)}成立，P(y){displaystyle P(y)}必定也成立（相同的性質），所以x=y{displaystyle x=y}（' 'P{displaystyle P}的變量為y{displaystyle y}）.

等于的一些基本性质

替代性

对任意量a{displaystyle a}和b{displaystyle b}和任意表达式F(x){displaystyle F(x)}，若a=b{displaystyle a=b}，则F(a)=F(b){displaystyle F(a)=F(b)}（设等式两边都有意义）。
在一阶逻辑中，不能量化像F{displaystyle F}这样的表达式（它可能是个函数谓词）。
一些例子：

• 对任意实数a,b,c{displaystyle a,b,c}，若a=b{displaystyle a=b}，则a+c=b+c{displaystyle a+c=b+c}（这里F(x){displaystyle F(x)}为x+c{displaystyle x+c}）


• 对任意实数a,b,c{displaystyle a,b,c}，若a=b{displaystyle a=b}，则a−c=b−c{displaystyle a-c=b-c}（这里F(x){displaystyle F(x)}为x−c{displaystyle x-c}）


• 对任意实数a,b,c{displaystyle a,b,c}，若a=b{displaystyle a=b}，则ac=bc{displaystyle ac=bc}（这里F(x){displaystyle F(x)}为xc{displaystyle xc}）


• 对任意实数a,b,c{displaystyle a,b,c}，若a=b{displaystyle a=b}且c≠0{displaystyle cneq 0}，则a/c=b/c{displaystyle a/c=b/c}（这里F(x){displaystyle F(x)}为x/c{displaystyle x/c}）

自反性

对任意量a{displaystyle a}，a=a{displaystyle a=a}。

这个性质通常在数学证明中作为中间步骤。

对称性

例子：如果a=b{displaystyle a=b}，那么b=a{displaystyle b=a}

传递性

例子：如果a=b{displaystyle a=b}，b=c{displaystyle b=c}，那么a=c{displaystyle a=c}

实数或其他对象上的二元关系“约等于”，即使进行精确定义，也不具有传递性（即使看上去有，但许多小的差能够叠加成非常大）。然而，在绝大多数情况下，等于具有传递性。

尽管对称性和传递性通常看上去是基本性质，但它们能够通过替代性和自反性证明得到。

符号的历史

「等于」符号或 「={displaystyle =}」被用来表示一些算术运算的结果，是由Robert Recorde在1557年发明的。

由于觉得书写文字过于麻烦，Recorde在他的作品 The Whetstone of Witte 中采用了这一符号。原因是符号中的两条线一样长，表明其连接的两个量也相等。这一发明在威尔士的St Mary教堂有记录。

约等于的符号是≈{displaystyle approx }或≒，不等于的符号是≠{displaystyle neq }。

参见

• 等号

外部链接

• 关系符号的早期使用（英文）