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在這篇文章內，向量與标量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 r{displaystyle mathbf {r} ,!} 表示；而其大小則用 r{displaystyle r,!} 來表示。

在鉅著《自然哲學的數學原理》1687年版本裏，以拉丁文撰寫的牛頓第一定律及牛頓第二定律

牛頓第二運動定律（Newton's second law of motion）表明，物體所受到的外力等於此物體的質量與加速度的乘積。牛頓第二定律也可以用動量來表明，即物体所受到的外力等於此物體的动量对时间的导数。

1687年，英國物理泰斗艾萨克·牛顿在鉅著《自然哲學的數學原理》裏，提出了牛頓運動定律，其中有三條定律，分別為牛顿第一定律、牛顿第二定律與牛顿第三定律。牛頓第二定律又稱為「加速度定律」。^[1]

牛頓第二定律被譽為經典力學的靈魂。在經典力學裡，它能夠主導千變萬化的物體運動與精彩有序的物理現象。牛頓第二定律的用途極為廣泛，它可以用來設計平穩地聳立於雲端的台北101摩天大廈，也可以用來計算從地球發射火箭登陸月球的運動軌道。^[2]

牛顿第二定律是一個涉及到物體運動的理論，根據這定律，任意物體的運動所出現的改變，都是源自於外力的施加於這物體。這理論導致了經典力學的誕生，是科學史的一個里程碑，先前只是描述自然現象的理論不再被採納，取而代之的是這個創立了一種理性的因果關係架構的新理論。實際而言，經典力學的嚴格的因果屬性，對於西方思想與文明的發展，產生了很大的影響。^[3]

概述

牛頓第二定律表明，物體所受到的外力等於此物體的質量與加速度的乘積，而加速度与外力同方向。以方程式表達，^[4]

F∝ma{displaystyle mathbf {F} propto mmathbf {a} } ；

其中，F{displaystyle mathbf {F} } 是外力，m{displaystyle m} 是質量，a{displaystyle mathbf {a} } 是加速度。

假若質量不變，則加速度跟受力成正比。假若受力不變，則加速度跟質量成反比。通過選擇適當的單位，上述方程式也可以表达为

F=ma{displaystyle mathbf {F} =mmathbf {a} } 。

假設施加外力於某物體，則由於該物體的加速度只與外力、質量有關，在任何狀況下，質量不變的物體都會表現出同樣的加速度：^{[註 1]}

a=F/m{displaystyle mathbf {a} =mathbf {F} /m}。

• 合外力：外力只能造成物體朝著同方向的加速度運動。假設有幾個外力作用於同樣一個物體，則物體的受力是這幾個外力的向量和，稱為「合外力」。

• 國際單位制：採用國際單位制，力、加速度、質量的單位分別規定為牛頓（N）、公尺每二次方秒（m/s²），公斤（kg）。施加1牛顿的力於質量為1公斤的物體，則此物體的加速度為1m/s²。也就是說，

1N=1kg⋅m/s2{displaystyle 1mathrm {N} =1mathrm {kg} cdot mathrm {m} /mathrm {s} ^{2}} 。

• 慣性參考系：若要知道物體在某一時刻的加速度，則必須從某個靜止物體（或呈勻速直線運動的物體）測量物體隨著時間的流易而改變的位移，而在外力為零的前提下，這個靜止物體（或呈勻速直線運動的物體）必須保持運動狀態不變，這意味著必須從慣性參考系來測量整個物理系統。因此，牛頓第二定律已事先假設，物體的加速度是從慣性參考系測量到的數值。^[4]
  

• 力與加速度的分解：由於外力與加速度都是向量，這向量方程式實際是由三個純量方程式組成的。採用直角坐標系 (x,y,z){displaystyle (x,y,z)} ，這三個純量方程式分別為

Fx=max{displaystyle F_{x}=ma_{x}} 、

Fy=may{displaystyle F_{y}=ma_{y}} 、

Fz=maz{displaystyle F_{z}=ma_{z}} ；

其中，(Fx,Fy,Fz){displaystyle (F_{x},F_{y},F_{z})} 是外力 F{displaystyle mathbf {F} } 的分量，(ax,ay,az){displaystyle (a_{x},a_{y},a_{z})} 是加速度 a{displaystyle mathbf {a} } 的分量。

外力對於每個坐标軸方向的分量只會影響加速度對於那個坐标軸方向的分量，不會影響加速度的其它分量，而加速度對於每個坐标軸的分量也只會被外力對於那個坐标軸的分量影響，不能被外力的其它分量影響。這是外力的線性疊加性質所產生的後果，^{[4][註 2]}

• 質量守恆：經典力學有一個隱藏的假定，即質量守恆，這又被稱為「牛頓第零運動定律」。牛頓並沒有直接地提出這定律。第零運動定律表明，物體的質量守恆，與速度無關，與物體的受力無關．當幾個物體相互作用時，或許會有質量從一個物體轉移到另一個物體，但總質量不變。^[5]
  

• 決定論性：牛頓第二定律是一種決定論性定律。假定物體的質量、初始位置與初始速度為已知量，則從施加於物體的外力，可以應用牛頓第二定律計算出物體在其運動軌跡的任意時間的位置與速度。這是非常有用的方法。

牛頓的論述

艾薩克·牛頓 （1643–1727）

原版第二定律的英文翻譯為：

「motion」是「quantity of motion」的簡稱，在這裏指的是物體的動量。「impressed force」指的是衝量。^[6][7]整個句子翻譯為：

牛頓對於動量與衝量彼此之間的關係的作解釋：「假設施加於物體的衝量造成了物體的動量改變，則雙倍的衝量會造成雙倍的動量改變，三倍的衝量會造成三倍的動量改變，不論衝量是全部同時施加，還是一部分一部分慢慢地施加，所造成的動量改變都一樣。

動量改變與原先動量之間的關係：這動量改變必定與施加的衝量同方向。假設在衝量施加之前，物體已具有某動量，則這動量改變會與原先動量相加或相減，依它們是同方向還是反方向而定，假設動量改變與原先動量呈某角度，則最終動量是兩者按著角度合成的結果。」

牛頓所使用的術語的涵意、他對於第二定律的認知、他想要第二定律如何被眾學者認知、以及牛頓表述與現代表述之間的關係，科學歷史學者對於這些論題都已經做過廣泛地研究與討論。^{[註 3]}

進階論述

任何物理定律都必須具有可证伪性，即必須能夠做實驗證實是否正確。為了要明確牛頓第二定律是否具有可证伪性，必須對於加速度、力與質量做測量。測量加速度很簡單，加速度是速度的時間變率，只要能測得速度改變與時間間隔，則可計算出加速度。然而，怎樣測量力與質量？力與質量的定義為何？^[8]

在對於質量與力給出定義後，按照這些定義裡的定量描述來測量物體的質量與物體的受力，再加上從觀測物體的運動得到的加速度，就可以很容易地檢試牛頓第二定律的正確性。

力的定義

很多常用教科書對於質量的定義不盡人意。在大衛·哈勒代與羅伯特·瑞思尼克（英语：Robert Resnick）著作的教科書《基礎物理（英语：Foundamental Physics）》裡，力被定義為造成物體加速的作用。類似地，在《大學物理（英语：University Physics）》教科書裡，力也被定義為兩個物體之間或物體與環境之間的作用。但是，它們都沒有解釋到底甚麼是「作用」？保羅·提泊羅（英语：Paul Tipler）在《科學家與工程師的物理》教科書裡，將力定義為造成物體改變速度的影響。那麼，「影響」又是甚麼呢。在道格拉斯·基安可理（英语：Douglass Giancoli）撰寫的教科書裡，力的定義是可以直覺地被人們體驗為對於物體的推或拉。可是，作者並未進一步解釋推或拉怎樣促使物體改變運動狀態。這些概念性定義（英语：conceptional definition）都無法對於質量這基礎術語用更為基礎的概念來表達。^[9]

應用槓桿原理，可以實現對於標準單位力的任意分數倍。如上圖所示，當F1{displaystyle F_{1}}是F2{displaystyle F_{2}}的三分之一時，槓桿會呈靜態平衡狀態。^[10]

懸掛於兩條特定彈簧的一個物體，正好能夠將這兩條特定彈簧延伸特定距離，則這物體的重量W{displaystyle mathbf {W} }等於兩個標準單位力F0{displaystyle mathbf {F} _{0}}。^[11]

古斯塔夫·基爾霍夫首先提議，將力定義為質量與加速度的乘積。^{[12][註 4]}按照這提議，第二定律只是一個定義式，而不是自然定律。實際而言，這提議沒有將在大自然裏各種各樣的力納入考量，它忽略了每一種力的獨特性。^[15]

假設兩條同樣的彈簧被延伸同樣的距離，其各自產生的「彈力」（一種物理現象）相等，則將這兩條彈簧並聯，可以製成兩倍的彈力，又將一物體的兩邊分別連接這兩條彈簧的末端，使彈力方向相反，則作用於物體的合力為零，物體的運動狀態不會改變。為了對於彈力給出定量描述，設定「標準單位力」為某特定彈簧延伸特定距離所產生的彈力。稱這特定彈簧為「標準彈簧」。任意整數倍的標準單位力都可以用幾條標準彈簧所組成的系統來實現，對於標準單位力的任意分數倍，可以應用阿基米德的槓桿原理來實現。彈簧系統可以用來做測量實驗，對於任意力做比較，給出它的測量值。例如，假設懸掛於兩條標準彈簧的一個物體，正好能夠將這兩條標準彈簧延伸特定距離，則這物體的重量等於兩個標準單位力。^{[14][6][10][11]}

質量的定義

雖然質量在物理學教育裡佔有中心地位，人們並不很清楚質量的概念，很多教科書對於質量的定義也不甚令人滿意，它們都有一些重大瑕疵。這些定義所涉及到的困題，大部分出現於將經典描述融入現代描述的後果之中，而且清楚地被相對論、量子色動力學、強相互作用理論等等現代理論顯露出來。^[9]

物質數量

有一種定義將質量設定為物體內部所含有的物質數量。這種定義可以追溯到中世紀。這也是牛頓在他的巨著《自然哲學的數學原理》裡對於質量給出的定義，按照這定義，質量可以從物體的密度與體積乘積求得。德國物理學者恩斯特·馬赫對這定義給出嚴厲批評，他認為這定義觸犯了循環推理，因為密度的定義是每單位體積的質量。^[16][17]

從測量的角度來看，牛頓並沒有給出任何測量密度的方法，所以，也沒有給出測量質量的方法。牛頓不能對於質量與密度同時給出定義，因此，質量並未被嚴格定義。^[18]但是，牛頓的想法並不是這樣，他把物體視為由很多微小的基本粒子均勻組成的聚集體，他認為這聚集體的結構是更為基礎的概念，在計算物體的質量時，他會數算物體的小粒子數量，這數量乘以每個基本粒子的質量就是物體的質量。因此，只要設定某參考物體S的質量為標準質量，這參考物體S可以是石頭、金塊或鐵塊．那麼，n個物體S的質量必定是這標準單位質量的n倍。^[19][6]

根據狹義相對論，一個盛裝著熱水的水壺，其質量與熱水的溫度有關，雖然水壺裡的水分子數量不變，若溫度越高，則水分子的移動速度越快，因此質量也越大，若溫度越低，則水分子的移動速度越慢，因此質量也越小，所以，隨著物體的溫度的改變，質量也會改變。但是，在經典力學範圍內，這質量的改變相當微小，可以被忽略。儘管牛頓給出對於質量的定義很簡單與粗略，但仍舊很明確與有用，仍舊能夠非正式地給出大約的定量描述。^[20]在現代物理學裡，質量的定義必須將物質內部因相互作用而涉及到的能量納入考量。例如，物體的靜質量是製成這物體所需要的最少能量。^[21]

慣性質量

另一種定義是基於慣性的概念。在這定義裡，質量被用來量度物體對於改變它的運動狀態的抗拒能力。因此被稱為「慣性質量」。然而，不管這定義是如何真確，它並沒有給出量度質量的方法，人們無法直接估算物體的質量數值，因此，這定義似乎更像是一種形而上學定義。^[9]

有些教科書使用牛頓第二定律的公式F=ma{displaystyle mathbf {F} =mmathbf {a} }來量度物體的抗拒能力。然而，一般而言，質量並不是力與加速度之間的比例常數。根據狹義相對論，力與加速度之間的關係與力與速度之間的相對取向有關：

F∥=γ3ma∥{displaystyle mathbf {F} _{parallel }=gamma ^{3}mmathbf {a} _{parallel }}、

F⊥=γma⊥{displaystyle mathbf {F} _{perp }=gamma mmathbf {a} _{perp }}；

其中，F∥{displaystyle mathbf {F} _{parallel }}與a∥{displaystyle mathbf {a} _{parallel }}分別是力與加速度朝著速度方向的分量，F⊥{displaystyle mathbf {F} _{perp }}與a⊥{displaystyle mathbf {a} _{perp }}分別是力與加速度垂直於速度方向的分量，γ=(1−v2/c2)−1/2{displaystyle gamma =(1-v^{2}/c^{2})^{-1/2}}是勞侖茲因子，v{displaystyle mathbf {v} }是速度大小。

因此，更正確的方程式為

F=mIa{displaystyle mathbf {F} =m_{I}mathbf {a} }。

在這方程式中，慣性質量mI{displaystyle m_{I}}是個張量。儘管質量的概念與慣性質量的概念緊密連結，它們彼此之間的關係並不是簡單的等號關係。

設想一個呈加速度運動的物體，假若物體感受到的力與靜質量不變，並且它的加速度與速度的方向相同，由於它的速度漸漸增加，勞侖茲因子也會逐漸增加，而加速度則會逐漸減小，因此，隨著速度的增加，越來越難維持加速度，這意味著物體的慣性增加，儘管靜質量保持不變。如同阿爾伯特·愛因斯坦與利奧波德·英費爾德所言，假設兩個物體的靜質量相同，動量較大的物體對於外力的抗拒越強勁。由此可見，質量（靜質量）與慣性（慣性質量）是不一樣的物理量。^[21]

回溯在經典力學裡，假設使用一條先前論述的標準彈簧，施加一個標準單位力F0{displaystyle mathbf {F} _{0}}於某物體，則可從測量這物體隨著時間流易而呈現出的速度，估算出這物體的加速度，標記其為a0{displaystyle mathbf {a} _{0}}。繼續做實驗，假設施加兩個標準單位力2F0{displaystyle 2mathbf {F} _{0}}於這物體，則可從測得的新數據估算出這物體的加速度為2a0{displaystyle 2mathbf {a} _{0}}。類似地做實驗，施加彈力F{displaystyle mathbf {F} }於這物體，然後估算這物體的加速度a{displaystyle mathbf {a} }，可以得到力與加速度彼此之間的關係式：^[4]

F=ka{displaystyle mathbf {F} =kmathbf {a} }；

其中，k{displaystyle k}是比例常數。

辨識這比例常數為慣性質量，則立刻可發覺這關係式就是牛頓第二定律的方程式。

馬赫的質量定義

由於上述兩種概念性定義的種種缺點，學者們常會使用操作性定義來給出定量描述，這種定義追溯至恩斯特·馬赫對於這論題的原創研究。馬赫定義使用到牛頓第三定律，其表明，當兩個物體進行相互作用時，彼此施加於對方的力，其大小相等、方向相反。假設兩個相互作用的物體O₁、O₂，彼此施加於對方的力分別為F1{displaystyle mathbf {F} _{1}}、F2{displaystyle mathbf {F} _{2}}，則按照牛頓第三定律 ^[22][23]

F1=−F2{displaystyle mathbf {F} _{1}=-mathbf {F} _{2}}。

使用牛頓第二定律，可以得到

dp1dt=−dp2dt{displaystyle {frac {mathrm {d} mathbf {p} _{1}}{mathrm {d} t}}=-{frac {mathrm {d} mathbf {p} _{2}}{mathrm {d} t}}}；

其中，p1{displaystyle mathbf {p} _{1}}、p2{displaystyle mathbf {p} _{2}}分別為物體O₁、O₂的動量。

由於動量是質量與速度的乘積，而質量不變，所以，

m1(dv1dt)=−m2(dv2dt){displaystyle m_{1}left({frac {mathrm {d} mathbf {v} _{1}}{mathrm {d} t}}right)=-m_{2}left({frac {mathrm {d} mathbf {v} _{2}}{mathrm {d} t}}right)}；

其中，m1{displaystyle m_{1}}、v1{displaystyle mathbf {v} _{1}}與m2{displaystyle m_{2}}、v2{displaystyle mathbf {v} _{2}}分別為物體O₁、O₂的慣性質量、速度。

因此，假設施力相同，則質量比是加速度的反比：

m1m2=a2a1{displaystyle {frac {m_{1}}{m_{2}}}={frac {a_{2}}{a_{1}}}}。

給定m1{displaystyle m_{1}}為「標準單位質量」，則可估算任意質量m2{displaystyle m_{2}}的數值：

m2=m1a1a2{displaystyle m_{2}={frac {m_{1}a_{1}}{a_{2}}}}。

實驗驗證

1983年，莫德采·米爾格若姆提出的修正牛頓動力學理論（英语：modified Newtonian Dynamics）表明，由於星系自轉問題，即被觀測到的在星系裡恆星的速度大於牛頓力學的預測速度，牛頓萬有引力定律或牛頓第二定律可能需要修正。^[24]除了暗物質理論以外，修正牛頓動力學理論也可以用來解釋星系自轉問題。 這理論的適用區域大約在加速度為a0≈2×10−10ms−2{displaystyle a_{0}approx 2times 10^{-10}ms^{-2}}的數量級。為了符合天文物理學數據，這理論將牛頓第二定律修改為^[25]

F=ma μ(a/a0){displaystyle mathbf {F} =mmathbf {a} mu (a/a_{0})}；

其中，μ(a/a0){displaystyle mu (a/a_{0})}是個函數，其符合以下兩個條件：

• 當a≫a0{displaystyle agg a_{0}}時，μ(a/a0)→1{displaystyle mu (a/a_{0})to 1}。


• 當a≪a0{displaystyle all a_{0}}時，μ(a/a0)→0{displaystyle mu (a/a_{0})to 0}。

一般而言，在各種物理案例中，很少會遇到這麼微小的加速度，然而，假若修正牛頓動力學理論確實被證實，則整個經典力學與廣義相對論都需要被修改。因此，驗證修正牛頓動力學理論是很重要的實驗研究論題。

1986年，使用干涉儀測量擺質量的加速度對於時變電場的響應，物理學者證實，在加速度為3×10−11ms−2{displaystyle 3times 10^{-11}ms^{-2}}的狀況下，牛頓第二定律仍舊有效。2007年，使用扭擺（英语：torsion pendulum）來表現對於時變電場的響應，實驗證實，在加速度為5×10−14ms−2{displaystyle 5times 10^{-14}ms^{-2}}的狀況下，牛頓第二定律正確無誤。2011年，物理學者做實驗測量微波共振器對於引力作用的響應，但並未在加速度為10−10ms−2{displaystyle 10^{-10}ms^{-2}}的狀況下找到任何偏差。2014年，使用紐秤來量度引力引起的加速度，物理學者在加速度為10−12ms−2{displaystyle 10^{-12}ms^{-2}}的狀況下仍未發現任何偏差。^[25][26]

衝量

假設施加外力 F{displaystyle mathbf {F} } 於某物體的時間有 Δt{displaystyle Delta t} 那麼久，則這等於施加衝量 J{displaystyle mathbf {J} } 於此物體：^[27]

J=∫ΔtFdt{displaystyle mathbf {J} =int _{Delta t}mathbf {F} ,mathrm {d} t} 。

根據現代的第二定律，

F=ma{displaystyle mathbf {F} =mmathbf {a} } 。

經過 Δt{displaystyle Delta t} ，假定質量不變，動量 p{displaystyle mathbf {p} } 的改變為

Δp=mΔv=m∫Δtadt=∫ΔtFdt{displaystyle Delta mathbf {p} =mDelta mathbf {v} =mint _{Delta t}mathbf {a} ,mathrm {d} t=int _{Delta t}mathbf {F} ,mathrm {d} t} 。

所以，衝量與動量之間的關係式為

J=Δp{displaystyle mathbf {J} =Delta mathbf {p} } 。

這就是原版第二定律。^[28]

衝量的概念時常被用來分析碰撞與撞擊問題。^[29]

可變質量系統

火箭的燃料經過燃燒以後，會產生高溫高壓氣體，經過加速排氣到外界，就可以推動火箭前進。第二定律不能直接應用於這種可變質量系統。基本而言，第二定律只能應用於單獨粒子（或理想化為粒子的物體），其質量守恆。對於多粒子系統案例，必需將第二定律加以延伸為^[30]

Fext=ddt(p)=ddt(Mvcm){displaystyle mathbf {F} _{mathrm {ext} }={frac {mathrm {d} }{mathrm {d} t}}(mathbf {p} )={frac {mathrm {d} }{mathrm {d} t}}(Mmathbf {v} _{mathrm {cm} })} ；

其中，Fext{displaystyle mathbf {F} _{mathrm {ext} }} 是施加於系統的淨外力，p{displaystyle mathbf {p} } 是系統的動量，M{displaystyle M} 是系統的總質量，vcm{displaystyle mathbf {v} _{mathrm {cm} }} 是系統質心的速度。

假設淨外力Fext{displaystyle mathbf {F} _{mathrm {ext} }}為零，則動量守恆，即最初動量pi{displaystyle mathbf {p} _{i}}等於最終動量pf{displaystyle mathbf {p} _{f}}：

pi=pf{displaystyle mathbf {p} _{i}=mathbf {p} _{f}}。

假設在時間在時間t{displaystyle t}與t+dt{displaystyle t+mathrm {d} t}之間，火箭的質量從m{displaystyle m}變為m+dm{displaystyle m+mathrm {d} m}，即質量為−dm{displaystyle -mathrm {d} m}的燃料被燃燒與排出，燃料排出時的速度為U{displaystyle mathbf {U} }，火箭的速度從v{displaystyle mathbf {v} }變為v+dv{displaystyle mathbf {v} +mathrm {d} mathbf {v} }，那麼，動量守恆方程可以寫為^[31]

mv=(m+dm)(v+dv)−Udm{displaystyle mmathbf {v} =(m+mathrm {d} m)(mathbf {v} +mathrm {d} mathbf {v} )-mathbf {U} mathrm {d} m}。

注意到火箭速度v{displaystyle mathbf {v} }與燃料速度U{displaystyle mathbf {U} }都是從發射台參考系觀測到的速度。那麼，相對於火箭參考系．燃料排出的相對速度vrel{displaystyle mathbf {v} _{rel}}為

vrel=U−v−dv{displaystyle mathbf {v} _{rel}=mathbf {U} -mathbf {v} -mathrm {d} mathbf {v} }。

經過一番運算，可以得到

vreldmdt=mdvdt{displaystyle mathbf {v} _{rel}{frac {mathrm {d} m}{mathrm {d} t}}=m{mathrm {d} mathbf {v} over mathrm {d} t}}。

對於像火箭一類的可變質量系統，必需將第二定律的方程式添加一個項目，這項目專門計算進入或離開火箭的質量所帶有的動量：^[32]

Fext+vreldmdt=mdvdt{displaystyle mathbf {F} _{ext}+mathbf {v} _{rel}{frac {mathrm {d} m}{mathrm {d} t}}=m{mathrm {d} mathbf {v} over mathrm {d} t}}；

其中，Fext{displaystyle mathbf {F} _{ext}} 是施加於火箭的外力，例如地球施加於火箭的重力。

火箭的推力定義為

Ft =def vreldmdt{displaystyle mathbf {F} _{t} {stackrel {def}{=}} mathbf {v} _{rel}{frac {mathrm {d} m}{mathrm {d} t}}} 。

將這定義式代入，可以得到

F=ma{displaystyle mathbf {F} =mmathbf {a} }

其中，F=Fext+Ft{displaystyle mathbf {F} =mathbf {F} _{ext}+mathbf {F} _{t}} 是外力與推力的向量和。

參閱

播放媒体

麻省理工學院物理教授瓦尔特·列文（Walter Lewin）講解牛頓第二定律。 (MIT OCW)^[33]

• 伊萨克·牛顿


• 
  牛頓運動定律
  
  
  
  • 牛頓第一運動定律
  
  
  • 牛頓第二運動定律
  
  
  • 牛頓第三運動定律
  
  
  
  


• 物理学定律列表

註釋

參考文獻

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