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在数学分析中，常微分方程（英语：ordinary differential equation，簡稱ODE）是未知函数只含有一个自变量的微分方程。对于微积分的基本概念，请参见微积分、微分学、积分学等条目。

很多科学问题都可以表示为常微分方程，例如根据牛顿第二运动定律，物体在力的作用下的位移 s{displaystyle s} 和时间 t{displaystyle t} 的关系就可以表示为如下常微分方程：

md2sdt2=f(s){displaystyle m{frac {d^{2}s}{dt^{2}}}=f(s)}；

其中 m{displaystyle m} 是物体的质量，f(s){displaystyle f(s)} 是物体所受的力，是位移的函数。所要求解的未知函数是位移 s{displaystyle s}，它只以时间 t{displaystyle t} 为自变量。

精确解总结

一些微分方程有精确封闭形式的解，这里给出几个重要的类型。

在下表中，P(x), Q(x), P(y), Q(y), 和M(x,y), N(x,y) 是任何 x, y的可积（英语：Integrable）函数，b, c 是给定的实常数，C₁, C₂,... 是任意常数(一般为复数)。这些微分方程的等价或替代形式通过积分可以得到解。

在积分解中，λ 和 ε 是积分变量（求和下标的连续形式），记号 ∫^xF(λ)dλ 只表示 F(λ) 对 λ 积分，在积分以后 λ = x 替换，无需加常数（明确说明）。

微分方程	解法	通解
可分离方程
一阶，变量 x 和 y 均可分离（一般情况, 下面有特殊情况）[1] P1(x)Q1(y)+P2(x)Q2(y)dydx=0{displaystyle P_{1}(x)Q_{1}(y)+P_{2}(x)Q_{2}(y),{frac {dy}{dx}}=0,!} P1(x)Q1(y)dx+P2(x)Q2(y)dy=0{displaystyle P_{1}(x)Q_{1}(y),dx+P_{2}(x)Q_{2}(y),dy=0,!}	分离变量（除以P2Q1）。	∫xP1(λ)P2(λ)dλ+∫yQ2(λ)Q1(λ)dλ=C{displaystyle int ^{x}{frac {P_{1}(lambda )}{P_{2}(lambda )}},dlambda +int ^{y}{frac {Q_{2}(lambda )}{Q_{1}(lambda )}},dlambda =C,!}
一阶，变量 x 可分离[2] dydx=F(x){displaystyle {frac {dy}{dx}}=F(x),!} dy=F(x)dx{displaystyle dy=F(x),dx,!}	直接积分。	y=∫xF(λ)dλ+C{displaystyle y=int ^{x}F(lambda ),dlambda +C,!}
一阶自治，变量 y 可分离[2] dydx=F(y){displaystyle {frac {dy}{dx}}=F(y),!} dy=F(y)dx{displaystyle dy=F(y),dx,!}	分离变量（除以 F）。	x=∫ydλF(λ)+C{displaystyle x=int ^{y}{frac {dlambda }{F(lambda )}}+C,!}
一阶，变量 x 和 y 均可分离[2] P(y)dydx+Q(x)=0{displaystyle P(y){frac {dy}{dx}}+Q(x)=0,!} P(y)dy+Q(x)dx=0{displaystyle P(y),dy+Q(x),dx=0,!}	整个积分。	∫yP(λ)dλ+∫xQ(λ)dλ=C{displaystyle int ^{y}P(lambda ),{dlambda }+int ^{x}Q(lambda ),dlambda =C,!}
一般一阶微分方程
一阶，齐次[2] dydx=F(yx){displaystyle {frac {dy}{dx}}=Fleft({frac {y}{x}}right),!}	令 y = ux，然后通过分离变量 u 和 x 求解.	ln⁡(Cx)=∫yxdλF(λ)−λ{displaystyle ln(Cx)=int ^{frac {y}{x}}{frac {dlambda }{F(lambda )-lambda }},!}
一阶，可分离变量[1] yM(xy)+xN(xy)dydx=0{displaystyle yM(xy)+xN(xy),{frac {dy}{dx}}=0,!} yM(xy)dx+xN(xy)dy=0{displaystyle yM(xy),dx+xN(xy),dy=0,!}	分离变量（除以 xy）。	ln⁡(Cx)=∫xyN(λ)dλλ[N(λ)−M(λ)]{displaystyle ln(Cx)=int ^{xy}{frac {N(lambda ),dlambda }{lambda [N(lambda )-M(lambda )]}},!} 如果N = M, 解为xy = C.
恰当微分, 一阶[2] M(x,y)dydx+N(x,y)=0{displaystyle M(x,y){frac {dy}{dx}}+N(x,y)=0,!} M(x,y)dy+N(x,y)dx=0{displaystyle M(x,y),dy+N(x,y),dx=0,!} 其中 ∂M∂x=∂N∂y{displaystyle {frac {partial M}{partial x}}={frac {partial N}{partial y}},!}	整个积分。	F(x,y)=∫yM(x,λ)dλ+∫xN(λ,y)dλ+Y(y)+X(x)=C{displaystyle {begin{aligned}F(x,y)&=int ^{y}M(x,lambda ),dlambda +int ^{x}N(lambda ,y),dlambda \&+Y(y)+X(x)=Cend{aligned}},!} 其中 Y(y) 和 X(x) 是积分出来的函数而不是常数，将它们列在这里以使最终函数 F(x, y) 满足初始条件。
反常微分, 一阶[2] M(x,y)dydx+N(x,y)=0{displaystyle M(x,y){frac {dy}{dx}}+N(x,y)=0,!} M(x,y)dy+N(x,y)dx=0{displaystyle M(x,y),dy+N(x,y),dx=0,!} 其中∂M∂x≠∂N∂y{displaystyle {frac {partial M}{partial x}}neq {frac {partial N}{partial y}},!}	积分变量 μ(x, y) 满足 ∂(μM)∂x=∂(μN)∂y{displaystyle {frac {partial (mu M)}{partial x}}={frac {partial (mu N)}{partial y}},!}	如果可以得到 μ(x, y)： F(x,y)=∫yμ(x,λ)M(x,λ)dλ+∫xμ(λ,y)N(λ,y)dλ+Y(y)+X(x)=C{displaystyle {begin{aligned}F(x,y)&=int ^{y}mu (x,lambda )M(x,lambda ),dlambda +int ^{x}mu (lambda ,y)N(lambda ,y),dlambda \&+Y(y)+X(x)=C\end{aligned}},!}
一般二阶微分方程
二阶, 自治[3] d2ydx2=F(y){displaystyle {frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=F(y),!}	原方程乘以 2dy/dx, 代换2dydxd2ydx2=ddx(dydx)2{displaystyle 2{frac {dy}{dx}}{frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={frac {d}{dx}}left({frac {dy}{dx}}right)^{2},!}, 然后两次积分.	x=±∫ydλ2∫λF(ϵ)dϵ+C1+C2{displaystyle x=pm int ^{y}{frac {dlambda }{sqrt {2int ^{lambda }F(epsilon ),depsilon +C_{1}}}}+C_{2},!}
线性方程 (最高到n阶)
一阶线性，非齐次的函数系数[2] dydx+P(x)y=Q(x){displaystyle {frac {dy}{dx}}+P(x)y=Q(x),!}	积分因子: e∫xP(λ)dλ{displaystyle e^{int ^{x}P(lambda ),dlambda }}.	y=e−∫xP(λ)dλ[∫xe∫λP(ϵ)dϵQ(λ)dλ+C]{displaystyle y=e^{-int ^{x}P(lambda ),dlambda }left[int ^{x}e^{int ^{lambda }P(epsilon ),depsilon }Q(lambda ),{dlambda }+Cright]}
二阶线性，非齐次的常系数[4] d2ydx2+bdydx+cy=r(x){displaystyle {frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+b{frac {dy}{dx}}+cy=r(x),!}	余函数 yc: 设 yc = eαx，代换并解出 α 中的多项式，求出线性无关函数 eαjx{displaystyle e^{alpha _{j}x}}。 特解 yp：一般运用常数变易法（英语：method of variation of parameters），虽然对于非常容易的 r(x) 可以直观判断。[2]	y=yc+yp{displaystyle y=y_{c}+y_{p}} 如果 b2 > 4c, 则: yc=C1e(−b+b2−4c)x2+C2e−(b+b2−4c)x2{displaystyle y_{c}=C_{1}e^{left(-b+{sqrt {b^{2}-4c}}right){frac {x}{2}}}+C_{2}e^{-left(b+{sqrt {b^{2}-4c}}right){frac {x}{2}}},!} 如果 b2 = 4c, 则: yc=(C1x+C2)e−bx2{displaystyle y_{c}=(C_{1}x+C_{2})e^{-{frac {bx}{2}}},!} 如果 b2 < 4c, 则: yc=e−bx2[C1sin⁡(|b2−4c|x2)+C2cos⁡(|b2−4c|x2)]{displaystyle y_{c}=e^{-{frac {bx}{2}}}left[C_{1}sin {left({sqrt {left|b^{2}-4cright|}}{frac {x}{2}}right)}+C_{2}cos {left({sqrt {left|b^{2}-4cright|}}{frac {x}{2}}right)}right],!}
n 阶线性，非齐次常系数[4] ∑j=0nbjdjydxj=r(x){displaystyle sum _{j=0}^{n}b_{j}{frac {d^{j}y}{dx^{j}}}=r(x),!}	余函数 yc：设 yc = eαx，代换并解出 α 中的多项式，求出线性无关函数 eαjx{displaystyle e^{alpha _{j}x}}. 特解 yp：一般运用常数变易法（英语：method of variation of parameters），虽然对于非常容易的 r(x) 可以直观判断。[2]	y=yc+yp{displaystyle y=y_{c}+y_{p}} 由于 αj 为 n 阶多项式的解： ∏j=1n(α−αj)=0{displaystyle prod _{j=1}^{n}left(alpha -alpha _{j}right)=0,!}，于是： 对于各不相同的 αj， yc=∑j=1nCjeαjx{displaystyle y_{c}=sum _{j=1}^{n}C_{j}e^{alpha _{j}x},!} 每个根 αj 重复 kj 次， yc=∑j=1n(∑ℓ=1kjCℓxℓ−1)eαjx{displaystyle y_{c}=sum _{j=1}^{n}left(sum _{ell =1}^{k_{j}}C_{ell }x^{ell -1}right)e^{alpha _{j}x},!} 对于一些复数值的 αj，令 α = χj + iγj，使用欧拉公式，前面结果中的一些项就可以写成 Cjeαjx=Cjeχjxcos⁡(γjx+ϕj){displaystyle C_{j}e^{alpha _{j}x}=C_{j}e^{chi _{j}x}cos(gamma _{j}x+phi _{j}),!} 的形式，其中 ϕj 为任意常量（相移）。

参见

• 微分方程


• 偏微分方程

参考资料

1. 
   ^ ^1.01.1 Mathematical Handbook of Formulas and Tables (3rd edition), S. Lipschutz, M.R. Spiegel, J. Liu, Schuam's Outline Series, 2009, ISC_2N 978-0-07-154855-7
   


2. 
   ^ ^{2.02.12.22.32.42.52.62.72.8} Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (4th Edition), W.E. Boyce, R.C. Diprima, Wiley International, John Wiley & Sons, 1986, ISBN 0-471-83824-1
   


3. 
   ^ Further Elementary Analysis, R. Porter, G.Bell & Sons (London), 1978, ISBN 0-7135-1594-5
   


4. 
   ^ ^4.04.1 Mathematical methods for physics and engineering, K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence, Cambridge University Press, 2010, ISC_2N 978-0-521-86153-3