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在電磁學裏，為了要應用宏观馬克士威方程組，必須分別找到D{displaystyle mathbf {D} }場與E{displaystyle mathbf {E} }場之間，和H{displaystyle mathbf {H} }場與B{displaystyle mathbf {B} }場之間的關係。這些稱為本構關係的物理性質，設定了束縛電荷和束縛電流對於外場的響應。它們實際地對應於，一個物質響應外場作用而產生的電極化或磁化。^[1]:44-45

本構關係式的基礎建立於D{displaystyle mathbf {D} }場與H{displaystyle mathbf {H} }場的定義式：

D(r,t) =def ϵ0E(r,t)+P(r,t){displaystyle mathbf {D} (mathbf {r} ,t) {stackrel {def}{=}} epsilon _{0}mathbf {E} (mathbf {r} ,t)+mathbf {P} (mathbf {r} ,t)}、

H(r,t) =def 1μ0B(r,t)−M(r,t){displaystyle mathbf {H} (mathbf {r} ,t) {stackrel {def}{=}} {frac {1}{mu _{0}}}mathbf {B} (mathbf {r} ,t)-mathbf {M} (mathbf {r} ,t)}；

其中，P{displaystyle mathbf {P} }是電極化強度，M{displaystyle mathbf {M} }是磁化強度。

本構關係式的一般形式為

D=D(E,B){displaystyle mathbf {D} =mathbf {D} (mathbf {E} ,mathbf {B} )}、

H=H(E,B){displaystyle mathbf {H} =mathbf {H} (mathbf {E} ,mathbf {B} )}。

在解釋怎樣計算電極化強度與磁化強度之前，最好先檢視一些特別案例。

自由空間案例

假設，在自由空間（即理想真空）裏，就不用考慮介電質和磁化物質，本構關係式變得很簡單：^[2]:2

D=ε0E{displaystyle mathbf {D} =varepsilon _{0}mathbf {E} }、

H=B/μ0{displaystyle mathbf {H} =mathbf {B} /mu _{0}}。

將這些本構關係式代入宏观馬克士威方程組，則得到的方程組很像微觀馬克士威方程組，當然，在得到的高斯定律方程式和馬克士威-安培方程式內，總電荷密度和總電流密度分別被自由電荷密度和自由電流密度替代。這符合期待的結果，因為，在自由空間裏，沒有束縛電荷、束縛電流和極化電流。

線性物質案例

對於線性、各向同性物質，本構關係式也很直接：

D=εE{displaystyle mathbf {D} =varepsilon mathbf {E} }、

H=B/μ{displaystyle mathbf {H} =mathbf {B} /mu }；

其中，ε{displaystyle varepsilon }是物質的電容率，μ{displaystyle mu }是物質的磁導率。

將這些本構關係式代入宏观馬克士威方程組，可以得到方程組

對於線性、各向同性物質的表述

名稱	微分形式	積分形式
高斯定律	∇⋅(εE)=ρf{displaystyle nabla cdot (varepsilon mathbf {E} )=rho _{f}}	∬S⊂⊃(εE)⋅ds=Qf{displaystyle iint _{mathbb {S} }!!!!!!!!!!!!;subset !supset (varepsilon mathbf {E} )cdot mathrm {d} mathbf {s} =Q_{f}}
高斯磁定律	∇⋅B=0{displaystyle nabla cdot mathbf {B} =0}	∬S⊂⊃B⋅ds=0{displaystyle iint _{mathbb {S} }!!!!!!!!!!!!;subset !supset mathbf {B} cdot mathrm {d} mathbf {s} =0}
馬克士威-法拉第方程 (法拉第电磁感应定律)	∇×E=−∂B∂t{displaystyle nabla times mathbf {E} =-{frac {partial mathbf {B} }{partial t}}}	∮L⁡ E⋅dℓ=−dΦBdt{displaystyle oint _{mathbb {L} } mathbf {E} cdot mathrm {d} {boldsymbol {ell }}=-{frac {mathrm {d} Phi _{mathbf {B} }}{mathrm {d} t}}}
安培定律 (含馬克士威加法)	∇×(B/μ)=Jf+ε∂E∂t {displaystyle nabla times (mathbf {B} /mu )=mathbf {J} _{f}+varepsilon {frac {partial mathbf {E} }{partial t}} }	∮L⁡ (B/μ)⋅dℓ=If+dΦεEdt{displaystyle oint _{mathbb {L} } (mathbf {B} /mu )cdot mathrm {d} {boldsymbol {ell }}=I_{f}+{frac {mathrm {d} Phi _{varepsilon mathbf {E} }}{mathrm {d} t}}}

除非這物質是均勻物質，不能從微分式或積分式內提出電容率和磁導率。通量ΦεE{displaystyle Phi _{varepsilon mathbf {E} }}的方程式為

ΦεE=∬S⊂⊃εE⋅ds{displaystyle Phi _{varepsilon mathbf {E} }=iint _{mathbb {S} }!!!!!!!!!!!!;subset !supset varepsilon mathbf {E} cdot mathrm {d} mathbf {s} }。

這方程組很像微觀馬克士威方程組，當然，在得到的高斯定律方程式和馬克士威-安培方程式內，自由空間的電容率和磁導率分別被物質的電容率和磁導率替代；還有，總電荷密度和總電流密度分別被自由電荷密度和自由電流密度替代。這符合期待的結果，因為，在均勻物質內部，沒有束縛電荷、束縛電流和極化電流，雖然由於不連續性，可能在表面會有面束縛電荷、面束縛電流或面極化電流。

一般案例

對於實際物質，本構關係並不是簡單的線性關係，而是只能近似為簡單的線性關係。從D{displaystyle mathbf {D} }場與H{displaystyle mathbf {H} }場的定義式開始，要找到本構關係式，必需先知道電極化強度和磁化強度是怎樣從電場和磁場產生的。這可能是由實驗得到（建立於直接測量），或由推論得到（建立於統計力學、傳輸力學（transport phenomena）或其它凝聚態物理學的理論）。所涉及的細節可能是宏观或微觀的。這都要視問題的層級而定。

雖然如此，本構關係式通常仍舊可以寫為

D=εE{displaystyle mathbf {D} =varepsilon mathbf {E} }、

H=B/μ{displaystyle mathbf {H} =mathbf {B} /mu }。

不同的是，ε{displaystyle varepsilon }和μ{displaystyle mu }不再是簡單常數，而是函數。例如，

• 
  色散或吸收：ε{displaystyle varepsilon }和μ{displaystyle mu }是頻率的函數。因果論不允許物質具有非色散性，例如，克拉莫-克若尼關係式。場與場之間的相位可能不同相，這導致ε{displaystyle varepsilon }和μ{displaystyle mu }為複值，也導致電磁波被物質吸收。^[2]:330-335
  


• 
  非線性：ε{displaystyle varepsilon }和μ{displaystyle mu }都是電場與磁場的函數。例如，克爾效應^[3]和波克斯效應（Pockels effect）。


• 
  各向異性：例如，雙折射或二向色性（dichroism）。ε{displaystyle varepsilon }和μ{displaystyle mu }都是二階張量^[4]：

Di=∑jϵijEj{displaystyle D_{i}=sum _{j}epsilon _{ij}E_{j}}、

Bi=∑jμijHj{displaystyle B_{i}=sum _{j}mu _{ij}H_{j}}。

• 
  雙耦合各向同性（Bi-isotropy）或雙耦合各向異性（Bi-anisotropy）：在雙耦合各向同性物質裏，D{displaystyle mathbf {D} }場與H{displaystyle mathbf {H} }場分別各向同性地耦合於E{displaystyle mathbf {E} }場與B{displaystyle mathbf {B} }場^[4]：

D=ϵE+ξH{displaystyle mathbf {D} =epsilon mathbf {E} +xi mathbf {H} }、

B=μH+ζE{displaystyle mathbf {B} =mu mathbf {H} +zeta mathbf {E} }；

其中，ξ{displaystyle xi }與ζ{displaystyle zeta }是耦合常數，每一種介質的内禀常數。

在雙耦合各向異性物質裏，D{displaystyle mathbf {D} }場與H{displaystyle mathbf {H} }場分別各向異性地耦合於E{displaystyle mathbf {E} }場與B{displaystyle mathbf {B} }場，係數ϵ{displaystyle epsilon }、μ{displaystyle mu }、ξ{displaystyle xi }、ζ{displaystyle zeta }都是張量。

• 在不同位置和時間，P{displaystyle mathbf {P} }場與M{displaystyle mathbf {M} }場分別跟E{displaystyle mathbf {E} }場、B{displaystyle mathbf {B} }場有關：這可能是因為「空間不勻性」。例如，一個磁鐵的域結構、異質結構或液晶，或最常出現的狀況是多種材料占有不同空間區域。這也可能是因為隨時間而改變的物質或磁滯現象。對於這種狀況，P{displaystyle mathbf {P} }場與M{displaystyle mathbf {M} }場計算為^[5][2]:14
  

P(r,t)=ε0∫d3r′dt′χe(r,r′,t,t′;E)E(r′,t′){displaystyle mathbf {P} (mathbf {r} ,t)=varepsilon _{0}int d^{3}mathbf {r} 'dt';chi _{mathrm {e} }(mathbf {r} ,mathbf {r} ',t,t';mathbf {E} ),mathbf {E} (mathbf {r} ',t')}、

M(r,t)=1μ0∫d3r′dt′χm(r,r′,t,t′;B)B(r′,t′){displaystyle mathbf {M} (mathbf {r} ,t)={frac {1}{mu _{0}}}int d^{3}mathbf {r} 'dt';chi _{mathrm {m} }(mathbf {r} ,mathbf {r} ',t,t';mathbf {B} ),mathbf {B} (mathbf {r} ',t')}；

其中，χe{displaystyle chi _{mathrm {e} }}是電極化率，χm{displaystyle chi _{mathrm {m} }}是磁化率。

實際而言，在某些特別狀況，一些物質性質給出的影響微乎其微，這允許物理學者的忽略。例如，在低場強度狀況，光學非線性性質可以被忽略；當頻率局限於狹窄頻寬內時，色散不重要；對於能夠穿透物質的波長，物質吸收可已被忽略；對於微波或更長波長的電磁波，有限電導率的金屬時常近似為具有無窮大電導率的完美金屬（perfect metal），形成電磁場穿透的趨膚深度為零的硬障礙。

隨著材料科學的進步，材料專家可以設計出具有特定的電容率或磁導率的新材料，像光子晶體。

本構關係的演算

通常而言，感受到局域場施加的勞侖茲力，介質的分子會有所響應，從相關的理論計算，可以得到這介質的本構關係式。除了勞侖茲力以外，可能還需要給出其它作用力的理論模型，像涉及晶體內部晶格振動的鍵作用力，將這些作用力納入考量，一併計算。

在介質內部任意分子的位置r{displaystyle mathbf {r} }，其鄰近分子會被電極化和磁化，從而造成其局域場會與外場或宏观場不同。更詳盡細節，請參閱克勞修斯-莫索提方程式。真實介質不是連續性物質，其局域場在原子尺度的變化相當劇烈，必需經過空間平均，才能形成連續近似。

這連續近似問題時常需要某種量子力學分析，像應用於凝聚態物理學的量子場論。請參閱密度泛函理論和格林-庫波關係式（Green–Kubo relations）等等案例。物理學者研究出許多近似傳輸方程式，例如，波茲曼傳輸方程式（Boltzmann transport equation）、佛克耳-普朗克方程式（Fokker–Planck equation）和納維-斯托克斯方程式。這些方程式已經廣泛地應用於流體動力學、磁流體力學、超導現象、等離子模型（plasma modeling）等等學術領域。一整套處理這些艱難問題的物理工具已被成功地發展出來。另外，從處理像礫岩（conglomerate）或疊層材料（laminate）一類物質的傳統方法演變出來的「均質化方法」，是建立於以「均質有效介質」來近似「非均質介質」的方法^[6]。當激發波長超大於非均質性的尺度時，這方法正確無誤^[7][8][9]。

理論得到的答案必須符合實驗測量的數據。許多真實物質的連續近似性質，是靠著實驗測量而得到的^[10]。例如，應用橢圓偏振技術得到的薄膜的介電性質。

參考文獻