本構關係
在電磁學裏,為了要應用宏观馬克士威方程組,必須分別找到D{displaystyle mathbf {D} }場與E{displaystyle mathbf {E} }場之間,和H{displaystyle mathbf {H} }場與B{displaystyle mathbf {B} }場之間的關係。這些稱為本構關係的物理性質,設定了束縛電荷和束縛電流對於外場的響應。它們實際地對應於,一個物質響應外場作用而產生的電極化或磁化。[1]:44-45
本構關係式的基礎建立於D{displaystyle mathbf {D} }場與H{displaystyle mathbf {H} }場的定義式:
D(r,t) =def ϵ0E(r,t)+P(r,t){displaystyle mathbf {D} (mathbf {r} ,t) {stackrel {def}{=}} epsilon _{0}mathbf {E} (mathbf {r} ,t)+mathbf {P} (mathbf {r} ,t)}、
H(r,t) =def 1μ0B(r,t)−M(r,t){displaystyle mathbf {H} (mathbf {r} ,t) {stackrel {def}{=}} {frac {1}{mu _{0}}}mathbf {B} (mathbf {r} ,t)-mathbf {M} (mathbf {r} ,t)};
其中,P{displaystyle mathbf {P} }是電極化強度,M{displaystyle mathbf {M} }是磁化強度。
本構關係式的一般形式為
D=D(E,B){displaystyle mathbf {D} =mathbf {D} (mathbf {E} ,mathbf {B} )}、
H=H(E,B){displaystyle mathbf {H} =mathbf {H} (mathbf {E} ,mathbf {B} )}。
在解釋怎樣計算電極化強度與磁化強度之前,最好先檢視一些特別案例。
目录
1 自由空間案例
2 線性物質案例
3 一般案例
4 本構關係的演算
5 參考文獻
自由空間案例
假設,在自由空間(即理想真空)裏,就不用考慮介電質和磁化物質,本構關係式變得很簡單:[2]:2
D=ε0E{displaystyle mathbf {D} =varepsilon _{0}mathbf {E} }、
H=B/μ0{displaystyle mathbf {H} =mathbf {B} /mu _{0}}。
將這些本構關係式代入宏观馬克士威方程組,則得到的方程組很像微觀馬克士威方程組,當然,在得到的高斯定律方程式和馬克士威-安培方程式內,總電荷密度和總電流密度分別被自由電荷密度和自由電流密度替代。這符合期待的結果,因為,在自由空間裏,沒有束縛電荷、束縛電流和極化電流。
線性物質案例
對於線性、各向同性物質,本構關係式也很直接:
D=εE{displaystyle mathbf {D} =varepsilon mathbf {E} }、
H=B/μ{displaystyle mathbf {H} =mathbf {B} /mu };
其中,ε{displaystyle varepsilon }是物質的電容率,μ{displaystyle mu }是物質的磁導率。
將這些本構關係式代入宏观馬克士威方程組,可以得到方程組
名稱 | 微分形式 | 積分形式 |
---|---|---|
高斯定律 | ∇⋅(εE)=ρf{displaystyle nabla cdot (varepsilon mathbf {E} )=rho _{f}} | ∬S⊂⊃(εE)⋅ds=Qf{displaystyle iint _{mathbb {S} }!!!!!!!!!!!!;subset !supset (varepsilon mathbf {E} )cdot mathrm {d} mathbf {s} =Q_{f}} |
高斯磁定律 | ∇⋅B=0{displaystyle nabla cdot mathbf {B} =0} | ∬S⊂⊃B⋅ds=0{displaystyle iint _{mathbb {S} }!!!!!!!!!!!!;subset !supset mathbf {B} cdot mathrm {d} mathbf {s} =0} |
馬克士威-法拉第方程 (法拉第电磁感应定律) | ∇×E=−∂B∂t{displaystyle nabla times mathbf {E} =-{frac {partial mathbf {B} }{partial t}}} | ∮L E⋅dℓ=−dΦBdt{displaystyle oint _{mathbb {L} } mathbf {E} cdot mathrm {d} {boldsymbol {ell }}=-{frac {mathrm {d} Phi _{mathbf {B} }}{mathrm {d} t}}} |
安培定律 (含馬克士威加法) | ∇×(B/μ)=Jf+ε∂E∂t {displaystyle nabla times (mathbf {B} /mu )=mathbf {J} _{f}+varepsilon {frac {partial mathbf {E} }{partial t}} } | ∮L (B/μ)⋅dℓ=If+dΦεEdt{displaystyle oint _{mathbb {L} } (mathbf {B} /mu )cdot mathrm {d} {boldsymbol {ell }}=I_{f}+{frac {mathrm {d} Phi _{varepsilon mathbf {E} }}{mathrm {d} t}}} |
除非這物質是均勻物質,不能從微分式或積分式內提出電容率和磁導率。通量ΦεE{displaystyle Phi _{varepsilon mathbf {E} }}的方程式為
ΦεE=∬S⊂⊃εE⋅ds{displaystyle Phi _{varepsilon mathbf {E} }=iint _{mathbb {S} }!!!!!!!!!!!!;subset !supset varepsilon mathbf {E} cdot mathrm {d} mathbf {s} }。
這方程組很像微觀馬克士威方程組,當然,在得到的高斯定律方程式和馬克士威-安培方程式內,自由空間的電容率和磁導率分別被物質的電容率和磁導率替代;還有,總電荷密度和總電流密度分別被自由電荷密度和自由電流密度替代。這符合期待的結果,因為,在均勻物質內部,沒有束縛電荷、束縛電流和極化電流,雖然由於不連續性,可能在表面會有面束縛電荷、面束縛電流或面極化電流。
一般案例
對於實際物質,本構關係並不是簡單的線性關係,而是只能近似為簡單的線性關係。從D{displaystyle mathbf {D} }場與H{displaystyle mathbf {H} }場的定義式開始,要找到本構關係式,必需先知道電極化強度和磁化強度是怎樣從電場和磁場產生的。這可能是由實驗得到(建立於直接測量),或由推論得到(建立於統計力學、傳輸力學(transport phenomena)或其它凝聚態物理學的理論)。所涉及的細節可能是宏观或微觀的。這都要視問題的層級而定。
雖然如此,本構關係式通常仍舊可以寫為
D=εE{displaystyle mathbf {D} =varepsilon mathbf {E} }、
H=B/μ{displaystyle mathbf {H} =mathbf {B} /mu }。
不同的是,ε{displaystyle varepsilon }和μ{displaystyle mu }不再是簡單常數,而是函數。例如,
色散或吸收:ε{displaystyle varepsilon }和μ{displaystyle mu }是頻率的函數。因果論不允許物質具有非色散性,例如,克拉莫-克若尼關係式。場與場之間的相位可能不同相,這導致ε{displaystyle varepsilon }和μ{displaystyle mu }為複值,也導致電磁波被物質吸收。[2]:330-335
非線性:ε{displaystyle varepsilon }和μ{displaystyle mu }都是電場與磁場的函數。例如,克爾效應[3]和波克斯效應(Pockels effect)。
各向異性:例如,雙折射或二向色性(dichroism)。ε{displaystyle varepsilon }和μ{displaystyle mu }都是二階張量[4]:
Di=∑jϵijEj{displaystyle D_{i}=sum _{j}epsilon _{ij}E_{j}}、
Bi=∑jμijHj{displaystyle B_{i}=sum _{j}mu _{ij}H_{j}}。
雙耦合各向同性(Bi-isotropy)或雙耦合各向異性(Bi-anisotropy):在雙耦合各向同性物質裏,D{displaystyle mathbf {D} }場與H{displaystyle mathbf {H} }場分別各向同性地耦合於E{displaystyle mathbf {E} }場與B{displaystyle mathbf {B} }場[4]:
D=ϵE+ξH{displaystyle mathbf {D} =epsilon mathbf {E} +xi mathbf {H} }、
B=μH+ζE{displaystyle mathbf {B} =mu mathbf {H} +zeta mathbf {E} };
- 其中,ξ{displaystyle xi }與ζ{displaystyle zeta }是耦合常數,每一種介質的内禀常數。
- 在雙耦合各向異性物質裏,D{displaystyle mathbf {D} }場與H{displaystyle mathbf {H} }場分別各向異性地耦合於E{displaystyle mathbf {E} }場與B{displaystyle mathbf {B} }場,係數ϵ{displaystyle epsilon }、μ{displaystyle mu }、ξ{displaystyle xi }、ζ{displaystyle zeta }都是張量。
- 在不同位置和時間,P{displaystyle mathbf {P} }場與M{displaystyle mathbf {M} }場分別跟E{displaystyle mathbf {E} }場、B{displaystyle mathbf {B} }場有關:這可能是因為「空間不勻性」。例如,一個磁鐵的域結構、異質結構或液晶,或最常出現的狀況是多種材料占有不同空間區域。這也可能是因為隨時間而改變的物質或磁滯現象。對於這種狀況,P{displaystyle mathbf {P} }場與M{displaystyle mathbf {M} }場計算為[5][2]:14
P(r,t)=ε0∫d3r′dt′χe(r,r′,t,t′;E)E(r′,t′){displaystyle mathbf {P} (mathbf {r} ,t)=varepsilon _{0}int d^{3}mathbf {r} 'dt';chi _{mathrm {e} }(mathbf {r} ,mathbf {r} ',t,t';mathbf {E} ),mathbf {E} (mathbf {r} ',t')}、
M(r,t)=1μ0∫d3r′dt′χm(r,r′,t,t′;B)B(r′,t′){displaystyle mathbf {M} (mathbf {r} ,t)={frac {1}{mu _{0}}}int d^{3}mathbf {r} 'dt';chi _{mathrm {m} }(mathbf {r} ,mathbf {r} ',t,t';mathbf {B} ),mathbf {B} (mathbf {r} ',t')};
- 其中,χe{displaystyle chi _{mathrm {e} }}是電極化率,χm{displaystyle chi _{mathrm {m} }}是磁化率。
實際而言,在某些特別狀況,一些物質性質給出的影響微乎其微,這允許物理學者的忽略。例如,在低場強度狀況,光學非線性性質可以被忽略;當頻率局限於狹窄頻寬內時,色散不重要;對於能夠穿透物質的波長,物質吸收可已被忽略;對於微波或更長波長的電磁波,有限電導率的金屬時常近似為具有無窮大電導率的完美金屬(perfect metal),形成電磁場穿透的趨膚深度為零的硬障礙。
隨著材料科學的進步,材料專家可以設計出具有特定的電容率或磁導率的新材料,像光子晶體。
本構關係的演算
通常而言,感受到局域場施加的勞侖茲力,介質的分子會有所響應,從相關的理論計算,可以得到這介質的本構關係式。除了勞侖茲力以外,可能還需要給出其它作用力的理論模型,像涉及晶體內部晶格振動的鍵作用力,將這些作用力納入考量,一併計算。
在介質內部任意分子的位置r{displaystyle mathbf {r} },其鄰近分子會被電極化和磁化,從而造成其局域場會與外場或宏观場不同。更詳盡細節,請參閱克勞修斯-莫索提方程式。真實介質不是連續性物質,其局域場在原子尺度的變化相當劇烈,必需經過空間平均,才能形成連續近似。
這連續近似問題時常需要某種量子力學分析,像應用於凝聚態物理學的量子場論。請參閱密度泛函理論和格林-庫波關係式(Green–Kubo relations)等等案例。物理學者研究出許多近似傳輸方程式,例如,波茲曼傳輸方程式(Boltzmann transport equation)、佛克耳-普朗克方程式(Fokker–Planck equation)和納維-斯托克斯方程式。這些方程式已經廣泛地應用於流體動力學、磁流體力學、超導現象、等離子模型(plasma modeling)等等學術領域。一整套處理這些艱難問題的物理工具已被成功地發展出來。另外,從處理像礫岩(conglomerate)或疊層材料(laminate)一類物質的傳統方法演變出來的「均質化方法」,是建立於以「均質有效介質」來近似「非均質介質」的方法[6]。當激發波長超大於非均質性的尺度時,這方法正確無誤[7][8][9]。
理論得到的答案必須符合實驗測量的數據。許多真實物質的連續近似性質,是靠著實驗測量而得到的[10]。例如,應用橢圓偏振技術得到的薄膜的介電性質。
參考文獻
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