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  本文介紹的是微积分学中的一种向量分析。關於电磁学中与电通量有关的定理，請見「高斯定律」。

散度定理可以用來計算穿過閉曲面的通量，例如，任何左邊的曲面；散度定理不可以用來計算穿過具有邊界的曲面，例如，任何右邊的曲面。在這圖內，曲面以藍色顯示，邊界以紅色顯示。

高斯公式，又称为散度定理、高斯散度定理、高斯－奥斯特罗格拉德斯基公式或高－奥公式，是指在向量分析中，一个把向量场通过曲面的流动（即通量）与曲面内部的向量场的表现联系起来的定理。

更加精确地说，高斯公式说明向量场穿过曲面的通量，等于散度在曲面圍起來的體積上的积分。直观地，所有源点的和减去所有汇点的和，就是流出這区域的淨流量。

高斯公式在工程数学中是一个很重要的结果，特别是静电学和流体力学。

在物理和工程中，散度定理通常运用在三维空间中。然而，它可以推广到任意维数。在一维，它等价于微积分基本定理；在二维，它等价于格林公式。

这个定理是更一般的斯托克斯公式的特殊情形。

定理

设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面Σ所围起來的三維區域，函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在Ω上具有一阶连续偏导数，则有^[1]

∭Ω(∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂z)dv={displaystyle iiint _{Omega }left({frac {partial P}{partial x}}+{frac {partial Q}{partial y}}+{frac {partial R}{partial z}}right)dv=}∯{displaystyle oiint }Σ{displaystyle scriptstyle Sigma }Pdy∧dz+Qdz∧dx+Rdx∧dy{displaystyle P,dyland dz+Q,dzland dx+R,dxland dy}

或

∭Ω(∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂z)dv={displaystyle iiint _{Omega }left({frac {partial P}{partial x}}+{frac {partial Q}{partial y}}+{frac {partial R}{partial z}}right)dv=}∯{displaystyle oiint }Σ{displaystyle scriptstyle Sigma }(Pcos⁡α+Qcos⁡β+Rcos⁡γ)dS{displaystyle (Pcos alpha +Qcos beta +Rcos gamma ),dS}

这里Σ是Ω的边界（boundary），cos α、cos β、cos γ是Σ在点(x,y,z)处的單位法向量的方向余弦。

这两个公式都叫做高斯公式，不過這兩公式僅僅是表達方式不同，其實是相同的定理，這可以用變數變換得到兩公式的右邊都等於 ∫Σ(P,Q,R)⋅ndS{displaystyle int _{Sigma }(P,Q,R)cdot mathbf {n} ,dS}，其中 n{displaystyle mathbf {n} } 是曲面 Σ{displaystyle Sigma } 的向外單位法向量。

用散度表示

高斯公式用散度表示为：^[2]

∭ΩdivAdv={displaystyle iiint _{Omega }mathrm {div} mathbf {A} ,dv=}∯{displaystyle oiint }Σ{displaystyle scriptstyle Sigma }A⋅ndS.{displaystyle mathbf {A} cdot mathbf {n} ,dS.}

其中Σ是空间闭区域Ω的边界曲面，而 n{displaystyle mathbf {n} } 是曲面Σ上的朝外的單位法向量。

用向量表示

令V代表有一间单闭曲面S为边界的体积，f{displaystyle mathbf {f} }是定义在V中和S上连续可微的向量场。如果dS{displaystyle dmathbf {S} }是外法向向量面元，则

∫Sf⋅dS=∫V∇⋅fdV{displaystyle int _{S}mathbf {f} cdot dmathbf {S} =int _{V}nabla cdot mathbf {f} dV}

推论

• 对于标量函数g和向量场F的积，应用高斯公式可得：

∭V(F⋅(∇g)+g(∇⋅F))dV=∬∂VgF⋅dS{displaystyle iiint _{V}left(mathbf {F} cdot left(nabla gright)+gleft(nabla cdot mathbf {F} right)right)dV=iint _{partial V}gmathbf {F} cdot dmathbf {S} }

• 对于两个向量场F×G{displaystyle mathbf {F} times mathbf {G} }的向量积，应用高斯公式可得：

∭V(G⋅(∇×F)−F⋅(∇×G))dV=∬∂V(F×G)⋅dS{displaystyle iiint _{V}left(mathbf {G} cdot left(nabla times mathbf {F} right)-mathbf {F} cdot left(nabla times mathbf {G} right)right),dV=iint _{partial V}left(mathbf {F} times mathbf {G} right)cdot dmathbf {S} }

• 对于标量函数f和非零常向量的积，应用高斯公式可得：

∭V∇fdV=∬∂VfdS{displaystyle iiint _{V}nabla f,dV=iint limits _{partial V}f,dmathbf {S} }

• 对于向量场F和非零常向量的向量积，应用高斯公式可得：

∭V∇×FdV=∬∂VdS×F.{displaystyle iiint _{V}nabla times mathbf {F} ,dV=iint _{partial V}dmathbf {S} times mathbf {F} .}

例子

例子所对应的向量场。注意，向量可能指向球面的内侧或者外侧。

假设我们想要计算

∯{displaystyle oiint }S{displaystyle scriptstyle S}F⋅ndS,{displaystyle mathbf {F} cdot mathbf {n} ,dS,}

其中S是一个单位球面，定义为

S={x,y,z∈R3 : x2+y2+z2=1}.{displaystyle S=left{x,y,zin mathbb {R} ^{3} : x^{2}+y^{2}+z^{2}=1right}.}

F是向量场

F=2xi+y2j+z2k.{displaystyle mathbf {F} =2xmathbf {i} +y^{2}mathbf {j} +z^{2}mathbf {k} .}

直接计算这个积分是相当困难的，但我们可以用高斯公式来把它简化：

∭W(∇⋅F)dV=2∭W(1+y+z)dV=2∭WdV+2∭WydV+2∭WzdV.{displaystyle iiint _{W}(nabla cdot mathbf {F} ),dV=2iiint _{W}(1+y+z),dV=2iiint _{W}dV+2iiint _{W}y,dV+2iiint _{W}z,dV.}

其中W是单位球:

W={x,y,z∈R3 : x2+y2+z2≤1}.{displaystyle W=left{x,y,zin mathbb {R} ^{3} : x^{2}+y^{2}+z^{2}leq 1right}.}

由于函数y和z是奇函数，我们有：

∭WydV=∭WzdV=0.{displaystyle iiint _{W}y,dV=iiint _{W}z,dV=0.}

因此：

∯{displaystyle oiint }S{displaystyle scriptstyle S}F⋅ndS=2∭WdV=8π3,{displaystyle mathbf {F} cdot mathbf {n} ,{d}S=2iiint _{W},dV={frac {8pi }{3}},}

因为单位球W的体积是4π/3.

二阶张量的高斯公式

二阶张量的高斯公式实际上是上面的高斯公式的推论。为了使内容完整，首先简要地介绍三维欧几里得空间上的二阶张量（详见并矢张量或张量积）以及相关的概念和记号。在这里，向量和向量场用黑斜体字母表示，张量用正黑体字母表示。

1. 两个向量a{displaystyle {boldsymbol {a}}}和b{displaystyle {boldsymbol {b}}}并排放在一起所形成的量ab{displaystyle {boldsymbol {ab}}}被称为向量a{displaystyle {boldsymbol {a}}}和b{displaystyle {boldsymbol {b}}}的并矢或并矢张量。要注意，一般来说，ab≠ba{displaystyle {boldsymbol {ab}}neq {boldsymbol {ba}}}。


2. 
   ab=0{displaystyle {boldsymbol {ab}}=0}的充分必要条件是a=0{displaystyle {boldsymbol {a}}=0}或b=0{displaystyle {boldsymbol {b}}=0}。


3. 
   二阶张量就是有限个并矢的线性组合。


4. 
   ab{displaystyle {boldsymbol {ab}}}分别线性地依赖于a{displaystyle {boldsymbol {a}}}和b{displaystyle {boldsymbol {b}}}。


5. 二阶张量T{displaystyle mathbf {T} }和向量a{displaystyle {boldsymbol {a}}}的缩并T⋅a{displaystyle mathbf {T} cdot {boldsymbol {a}}}以及a⋅T{displaystyle {boldsymbol {a}}cdot mathbf {T} }对 T{displaystyle mathbf {T} }和a{displaystyle {boldsymbol {a}}}都是线性的。


6. 特别是，当T=uv{displaystyle mathbf {T} ={boldsymbol {uv}}}时，

T⋅a=(uv)⋅a=u(v⋅a),a⋅T=a⋅(uv)=(a⋅u)v,{displaystyle mathbf {T} cdot {boldsymbol {a}}=({boldsymbol {uv}})cdot {boldsymbol {a}}={boldsymbol {u}}({boldsymbol {v}}cdot {boldsymbol {a}}),,qquad {boldsymbol {a}}cdot mathbf {T} ={boldsymbol {a}}cdot ({boldsymbol {uv}})=({boldsymbol {a}}cdot {boldsymbol {u}}),{boldsymbol {v}},}

所以，一般说来，T⋅a≠a⋅T{displaystyle mathbf {T} cdot {boldsymbol {a}}neq {boldsymbol {a}}cdot mathbf {T} }。

下面举一个例子：用二阶张量及其与向量的缩并来重新写(a×b)×c{displaystyle ({boldsymbol {a}}times {boldsymbol {b}})times {boldsymbol {c}}}和a×(b×c){displaystyle {boldsymbol {a}}times ({boldsymbol {b}}times {boldsymbol {c}})}。

(a×b)×c=(a⋅c)b−(b⋅c)a=−(ab−ba)⋅c,a×(b×c)=(a⋅c)b−(a⋅b)c=−a⋅(bc−cb).{displaystyle ({boldsymbol {a}}times {boldsymbol {b}})times {boldsymbol {c}}=({boldsymbol {a}}cdot {boldsymbol {c}}),{boldsymbol {b}}-({boldsymbol {b}}cdot {boldsymbol {c}}),{boldsymbol {a}}=-({boldsymbol {ab}}-{boldsymbol {ba}})cdot {boldsymbol {c}},,qquad {boldsymbol {a}}times ({boldsymbol {b}}times {boldsymbol {c}})=({boldsymbol {a}}cdot {boldsymbol {c}}),{boldsymbol {b}}-({boldsymbol {a}}cdot {boldsymbol {b}}),{boldsymbol {c}}=-{boldsymbol {a}}cdot ({boldsymbol {bc}}-{boldsymbol {cb}}),.}

我们还用到二阶张量T{displaystyle mathbf {T} }的转置T′{displaystyle mathbf {T} '}（又可以记为Tt{displaystyle mathbf {T} ^{mathrm {t} }}），定义如下：

1. 
   T′{displaystyle mathbf {T} '}仍然是一个二阶张量，并且线性地依赖于T{displaystyle mathbf {T} }。


2. 
   (uv)′=vu{displaystyle ({boldsymbol {uv}})'={boldsymbol {vu}}}。

定理：设 V{displaystyle V}是三维欧几里得空间中的一个有限区域，S{displaystyle S}是它的边界曲面，n^{displaystyle {hat {boldsymbol {n}}}}是S{displaystyle S}的外法线方向上的单位向量，T{displaystyle mathbf {T} }是定义在V{displaystyle V}的某个开邻域上的C1{displaystyle C^{1}}连续的二阶张量场，T′{displaystyle mathbf {T} '}是T{displaystyle mathbf {T} }的转置，则

∬Sn^⋅TdS=∭V∇⋅TdV,∬ST⋅n^dS=∭V∇⋅T′dV.{displaystyle iint _{S}{hat {boldsymbol {n}}}cdot mathbf {T} ,dS=iiint _{V}nabla cdot mathbf {T} ,dV,,qquad iint _{S}mathbf {T} cdot {hat {boldsymbol {n}}},dS=iiint _{V}nabla cdot mathbf {T} ',dV,.}

证明：下面以第二个式子为例进行证明。令第二个式子的左边为F{displaystyle {boldsymbol {F}}}，则

ei⋅F=ei⋅∬ST⋅n^dS=∬Sei⋅T⋅n^dS=∬STijej⋅ndS.{displaystyle {boldsymbol {e}}_{i}cdot {boldsymbol {F}}={boldsymbol {e}}_{i}cdot iint _{S}mathbf {T} cdot {hat {boldsymbol {n}}},dS=iint _{S}{boldsymbol {e}}_{i}cdot mathbf {T} cdot {hat {boldsymbol {n}}},dS=iint _{S}T^{ij}{boldsymbol {e}}_{j}cdot {boldsymbol {n}},dS,.}

接下来利用向量场的高斯公式，可得

ei⋅F=∭V∇⋅(Tijej)dV=∭V∂Tij∂xjdV,{displaystyle {boldsymbol {e}}_{i}cdot {boldsymbol {F}}=iiint _{V}nabla cdot (T^{ij}{boldsymbol {e}}_{j}),dV=iiint _{V}{frac {partial T^{ij}}{partial x^{j}}},dV,,}

于是

F=ei(ei⋅F)=ei∬S∂Tij∂xjdV=∭Vei∂Tij∂xjdV=∭V∇⋅T′dV.{displaystyle {boldsymbol {F}}={boldsymbol {e}}_{i},({boldsymbol {e}}_{i}cdot {boldsymbol {F}})={boldsymbol {e}}_{i}iint _{S}{frac {partial T^{ij}}{partial x^{j}}},dV=iiint _{V}{boldsymbol {e}}_{i}{frac {partial T^{ij}}{partial x^{j}}},dV=iiint _{V}nabla cdot mathbf {T} ',dV,.}

至此证毕。

参阅

• 格林定理


• 斯托克斯定理

参考文献

1. 
   ^ 同济大学数学系 编. 高等数学(第六版)(下册). 北京: 高等教育出版社, 2007
   


2. 
   ^ 谢树艺编. 高等学校教材•工程数学:向量分析与场论(第3版). 北京: 高等教育出版社, 2005