高斯定律
「高斯定理」重定向至此。關於向量分析中的高斯定理，詳見「高斯散度定理」。
卡爾·高斯
在閉合曲面 A{displaystyle mathbb {A} }
的內部有電荷 Q{displaystyle Q}
，因此會在閉合曲面產生電場 E{displaystyle mathbf {E} }
。高斯定律（Gauss' law）表明在闭合曲面内的电荷分佈與產生的電場之間的關係：
- 其定性描述為：穿越出任意閉合曲面的淨電通量等於該閉合曲面內的淨電荷除以电容率。該閉合曲面稱為高斯曲面。
- 真空中高斯定律積分形式为：Φ={displaystyle Phi =}
∯{displaystyle oiint }
A{displaystyle mathbb {A} }；
- 其中，E{displaystyle mathbf {E} }
为閉合曲面 A{displaystyle mathbb {A} }
为真空電容率。
- 其微分形式为：∇⋅E=ρϵ0{displaystyle nabla cdot mathbf {E} ={frac {rho }{epsilon _{0}}}}
；其中，ρ{displaystyle rho }
为电荷密度（单位 C/m3）。
- 在线性材料中，等式变为∇⋅ϵE=ρ{displaystyle nabla cdot epsilon mathbf {E} =rho }
；其中ϵ{displaystyle epsilon }
为材料的電容率。
此方程是卡尔·高斯在1835年提出的，但直到1867年才发布。高斯定律在静电场情况下类比于应用在磁场学的安培定律，而二者都被集中在麦克斯韦方程组中。因为数学上的相似性，高斯定律也可以应用于其它由反平方定律决定的物理量，例如引力或者輻照度。参看散度定理。
目录
1 積分形式
1.1 應用
2 微分形式
3 自由電荷的高斯定律
3.1 自由電荷與束縛電荷
3.2 積分形式
3.3 微分形式
3.4 等價證明
3.5 線性電介質
4 高斯定律與庫侖定律的關係
4.1 從庫侖定律推導高斯定律
4.2 從高斯定律推導庫侖定律
5 參閱
6 參考文獻
7 外部連結
積分形式
採用國際單位制，對於空間內的任意體積 V{displaystyle mathbb {V} }
∬A⊂⊃E⋅da′=Qϵ0{displaystyle iint _{mathbb {A} }!!!!!!!!!!!!!;subset !supset mathbf {E} cdot mathrm {d} mathbf {a} '={frac {Q}{epsilon _{0}}}};
其中，E{displaystyle mathbf {E} }
電通量 ΦA{displaystyle Phi _{mathbb {A} }}是穿過曲面 A{displaystyle mathbb {A} }
ΦA=∬A⊂⊃E⋅da′{displaystyle Phi _{mathbb {A} }=iint _{mathbb {A} }!!!!!!!!!!!!!;subset !supset mathbf {E} cdot mathrm {d} mathbf {a} '}。
Q{displaystyle Q}
ϵ0{displaystyle epsilon _{0}}
應用
給予空間的某個區域內，任意位置的電場。原則上，應用高斯定律，可以很容易地計算出電荷的分佈。只要積分電場於任意區域的表面，再乘以真空電容率，就可以得到那區域內的電荷數量。
但是，更常遇到的是逆反問題。給予電荷的分佈，求算在某位置的電場。這問題比較難解析。雖然知道穿過某一個閉合曲面的電通量，這資料仍舊不足以解析問題。在閉合曲面任意位置的電場可能會是非常的複雜。
假若，問題本身顯示出某種對稱性，促使在閉合曲面位置的電場大小變得均勻。那麼，就可以藉著這均勻性來計算電場。像圓柱對稱、平面對稱、球對稱等等，這些空間的對稱性，都能幫助高斯定律來解析問題。若想知道怎樣利用這些對稱性來計算電場，請參閱高斯曲面（Gaussian surface）。
微分形式
高斯定律的方程式的微分形式為
∇⋅E=ρϵ0{displaystyle mathbf {nabla } cdot mathbf {E} ={frac {rho }{epsilon _{0}}}}。
其中 ρ{displaystyle rho }
在數學裏，高斯定律的微分形式等價於其積分形式。這等價關係可以用散度定理來證明。
自由電荷的高斯定律
自由電荷與束縛電荷
自由電荷是自由移動，不被束縛於原子或分子內的電荷；而束縛電荷則是束縛於原子或分子內的電荷。當遇到涉及電介質的問題時，才需要考慮到束縛電荷所產生的效應。當電介質被置入於外電場時，電介質內的束縛電荷會被外電場影響，雖然仍舊束縛於其微觀區域（原子或分子），但會做微小位移。所有這些微小位移的貢獻造成了宏觀的電荷分佈的改變。
雖然微觀而言，不論是自由電荷，還是束縛電荷，本質上都是電荷。實際而言，對於某些案例，使用自由電荷的概念可以簡化問題的解析。但有時候，由於問題比較複雜，缺乏對稱性，必需採用其它方法來解析問題。
積分形式
對於空間內的任意體積 V{displaystyle mathbb {V} }
∬A⊂⊃D⋅da′=Qfree{displaystyle iint _{mathbb {A} }!!!!!!!!!!!!!;subset !supset mathbf {D} cdot mathrm {d} mathbf {a} '=Q_{mathrm {free} }};
其中，D{displaystyle mathbf {D} }
微分形式
只涉及自由電荷，這個高斯定律表述的微分形式可以表達為
- ∇⋅D=ρfree{displaystyle mathbf {nabla } cdot mathbf {D} =rho _{mathrm {free} }}
其中，ρfree{displaystyle rho _{mathrm {free} }}
請注意，在某種狀況下，雖然區域內可能沒有自由電荷，ρfree=0{displaystyle rho _{mathrm {free} }=0}
D=ϵ0E+P{displaystyle mathbf {D} =epsilon _{0}mathbf {E} +mathbf {P} }；
其中，P{displaystyle mathbf {P} }
取旋度於方程式的兩邊，
∇×D=∇×ϵ0E+∇×P=∇×P{displaystyle mathbf {nabla } times mathbf {D} =mathbf {nabla } times epsilon _{0}mathbf {E} +mathbf {nabla } times mathbf {P} =mathbf {nabla } times mathbf {P} }。
所以，电位移很可能不等於 0 。最典型的例子是永電體。
在數學裏，高斯定律的微分形式等價於其積分形式。這等價關係可以用散度定理來證明。
等價證明
兩種高斯定律數學等價的證明
本段落證明高斯定律對於總電荷的方程式
∇⋅E=ρ/ε0{displaystyle nabla cdot mathbf {E} =rho /varepsilon _{0}}，
等價於高斯定律對於自由電荷的方程式
∇⋅D=ρf{displaystyle nabla cdot mathbf {D} =rho _{f}}。
請注意，這裏只處理微分形式，不處理積分形式。這已達成足夠條件。因為，根據散度定理，兩種高斯定律的方程式，其微分形式都分別等價於積分形式。
電位移 D{displaystyle mathbf {D} }
D =def ε0E+P{displaystyle mathbf {D} {stackrel {def}{=}} varepsilon _{0}mathbf {E} +mathbf {P} }；
其中，P{displaystyle mathbf {P} }
束縛電荷密度 ρbound{displaystyle rho _{bound}}
的定義式為（請參閱電極化）
ρbound =def −∇⋅P{displaystyle rho _{bound} {stackrel {def}{=}} -nabla cdot mathbf {P} }。
注意到 ρ{displaystyle rho }
ρ=ρfree+ρbound=ρfree−∇⋅P=ρfree−∇⋅D+ε0∇⋅E{displaystyle rho =rho _{free}+rho _{bound}=rho _{free}-nabla cdot mathbf {P} =rho _{free}-nabla cdot mathbf {D} +varepsilon _{0}nabla cdot mathbf {E} }。
稍加編排，
ρ−ε0∇⋅E=ρfree−∇⋅D{displaystyle rho -varepsilon _{0}nabla cdot mathbf {E} =rho _{free}-nabla cdot mathbf {D} }。
所以，∇⋅E=ρ/ε0{displaystyle nabla cdot mathbf {E} =rho /varepsilon _{0}}
。兩個方程式等價[1]。
線性電介質
線性電介質有一個簡單良好的性質，其 D{displaystyle mathbf {D} }
ϵE=D{displaystyle epsilon mathbf {E} =mathbf {D} }；
其中，ϵ{displaystyle epsilon }
對於線性電介質，又有一對等價的高斯定律表述：
∬A⊂⊃E⋅da′=Qfreeϵ{displaystyle iint _{mathbb {A} }!!!!!!!!!!!!!;subset !supset mathbf {E} cdot mathrm {d} mathbf {a} '={frac {Q_{mathrm {free} }}{epsilon }}}、
∇⋅E=ρfreeϵ{displaystyle mathbf {nabla } cdot mathbf {E} ={frac {rho _{mathrm {free} }}{epsilon }}}。
高斯定律與庫侖定律的關係
從庫侖定律推導高斯定律
庫侖定律闡明，一個固定的點電荷的電場是
E(r)=q′4πϵ0r−r′|r−r′|3{displaystyle mathbf {E} (mathbf {r} )={frac {q'}{4pi epsilon _{0}}}{frac {mathbf {r} -mathbf {r} '}{|mathbf {r} -mathbf {r} '|^{3}}}}；
其中，q′{displaystyle q'}
根據這方程式，計算位於 r′{displaystyle mathbf {r} '}
E(r)=14πϵ0∫Vρ(r′)r−r′|r−r′|3d3r′{displaystyle mathbf {E} (mathbf {r} )={frac {1}{4pi epsilon _{0}}}int _{mathbb {V} }rho (mathbf {r} '){frac {mathbf {r} -mathbf {r} '}{|mathbf {r} -mathbf {r} '|^{3}}}mathrm {d} ^{3}mathbf {r} '}。
取這方程式兩邊對於 r{displaystyle mathbf {r} }
∇⋅E(r)=14πϵ0∫Vρ(r′)∇⋅r−r′|r−r′|3d3r′{displaystyle nabla cdot mathbf {E} (mathbf {r} )={frac {1}{4pi epsilon _{0}}}int _{mathbb {V} }rho (mathbf {r} ')nabla cdot {frac {mathbf {r} -mathbf {r} '}{|mathbf {r} -mathbf {r} '|^{3}}}mathrm {d} ^{3}mathbf {r} '}。
注意到
∇⋅r−r′|r−r′|3=4πδ(r−r′){displaystyle nabla cdot {frac {mathbf {r} -mathbf {r} '}{|mathbf {r} -mathbf {r} '|^{3}}}=4pi delta (mathbf {r} -mathbf {r} ')}；
其中，δ(r){displaystyle delta (mathbf {r} )}
所以，E(r){displaystyle mathbf {E} (mathbf {r} )}
∇⋅E(r)=1ϵ0∫Vρ(r′) δ(r−r′) d3r′{displaystyle nabla cdot mathbf {E} (mathbf {r} )={frac {1}{epsilon _{0}}}int _{mathbb {V} }rho (mathbf {r} ') delta (mathbf {r} -mathbf {r} ') mathrm {d} ^{3}mathbf {r} '}。
利用狄拉克δ函數的挑選性質，可以得到高斯定律的微分形式：
∇⋅E(r)=ρ(r)/ϵ0{displaystyle nabla cdot mathbf {E} (mathbf {r} )=rho (mathbf {r} )/epsilon _{0}}。
由於庫侖定律只能應用於固定不動的電荷，對於移動電荷，這導引不能証明高斯定律成立。事實是，對於移動電荷，高斯定律也成立。所以，從這角度來看，高斯定律比庫侖定律更一般化。
從高斯定律推導庫侖定律
嚴格地說，從高斯定律不能數學推導出庫侖定律，高斯定律並沒有給出任何關於電場的旋度的資料（參閱亥姆霍茲定理和法拉第電磁感應定律）。但是，假若能夠添加一個對稱性假定，即電荷造成的電場是球對稱的（就像庫侖定律本身一樣，在固定不動電荷的狀況，這假設是正確的；在移動電荷的狀況，這假設是近乎正確的），那麼，就可以從高斯定律推導出庫侖定律。
高斯定律的方程式為
∬A⊂⊃E⋅da′=Q/ϵ0{displaystyle iint _{mathbb {A} }!!!!!!!!!!!!!;subset !supset mathbf {E} cdot mathrm {d} mathbf {a} '=Q/epsilon _{0}}。
設定高斯定律積分的曲面 A{displaystyle mathbb {A} }
∬A⊂⊃E⋅da′=E(r)∬A⊂⊃r^⋅da′=E(r)∬A⊂⊃da=4πr2E(r)=Q/ϵ0{displaystyle iint _{mathbb {A} }!!!!!!!!!!!!!;subset !supset mathbf {E} cdot mathrm {d} mathbf {a} '=E(r)iint _{mathbb {A} }!!!!!!!!!!!!!;subset !supset {hat {mathbf {r} }}cdot mathrm {d} mathbf {a} '=E(r)iint _{mathbb {A} }!!!!!!!!!!!!!;subset !supset mathrm {d} a=4pi r^{2}E(r)=Q/epsilon _{0}}。
所以，庫侖定律成立：
E(r)=Q4πϵ0r^r2{displaystyle mathbf {E} (mathbf {r} )={frac {Q}{4pi epsilon _{0}}}{frac {hat {mathbf {r} }}{r^{2}}}}。
參閱
- 卡爾·高斯
- 鏡像法
恩绍定理（Earnshaw's theorem）
格林互反定理（Green's reciprocity theorem）
多極展開（multipole expansion）
參考文獻
^ Griffiths, David J., Introduction to Electrodynamics (3rd ed.), Prentice Hall: pp. 326–333, 1998, ISBN 0-13-805326-X 引文格式1维护：冗余文本 (link)
Jackson, John David. Classical Electrodynamic 3rd. USA: John Wiley & Sons, Inc. 1999. ISBN 978-0-471-30932-1.
外部連結
- 麻省理工學院物理系影視教學系列：電磁學
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