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在抽象代数中，一个群的交換子（commutator）或换位子是一个二元運算子。设g及h 是 群G中的元素，他們的交換子是g ⁻¹h ⁻¹gh，常記為[ g, h ]。只有当g和h符合交换律（即gh = hg）时他们的交换子才是这个群的单位元。

一个群G的全部交换子生成的子群叫做群G的导群，记作D(G)。

群論

環論

量子力學

量子力学中，经常用到对易关系（commutation relation），即

[A^,B^]=A^B^−B^A^{displaystyle [{hat {A}},{hat {B}}]={hat {A}}{hat {B}}-{hat {B}}{hat {A}}}；

其中；A^{displaystyle {hat {A}}}、B^{displaystyle {hat {B}}}均为量子力学的算符，[A^,B^]{displaystyle [{hat {A}},{hat {B}}]}是其对易算符，也称交换子。

如果上式等于零，则称A^{displaystyle {hat {A}}}、B^{displaystyle {hat {B}}}是对易的，即意味着A^{displaystyle {hat {A}}}和B^{displaystyle {hat {B}}}两个算符的运算顺序可以调换。反之则称非对易的，运算顺序不可以调换。

量子力學中，交換子有以下特性:

[A^,B^]=−[B^,A^]{displaystyle [{hat {A}},{hat {B}}]=-[{hat {B}},{hat {A}}]}

[A^,B^+C^]=[A^,B^]+[A^,C^],[A^+B^,C^]=[A^,C^]+[B^,C^]{displaystyle [{hat {A}},{hat {B}}+{hat {C}}]=[{hat {A}},{hat {B}}]+[{hat {A}},{hat {C}}],quad [{hat {A}}+{hat {B}},{hat {C}}]=[{hat {A}},{hat {C}}]+[{hat {B}},{hat {C}}]}

[A^,B^C^]=[A^,B^]C^+B^[A^,C^],[A^B^,C^]=[A^,C^]B^+A^[B^,C^]{displaystyle [{hat {A}},{hat {B}}{hat {C}}]=[{hat {A}},{hat {B}}]{hat {C}}+{hat {B}}[{hat {A}},{hat {C}}],quad [{hat {A}}{hat {B}},{hat {C}}]=[{hat {A}},{hat {C}}]{hat {B}}+{hat {A}}[{hat {B}},{hat {C}}]}

[A^,A^n]=0,n=1,2,3...{displaystyle [{hat {A}},{hat {A}}^{n}]=0,quad n=1,2,3...}

[kA^,B^]=[A^,kB^]=k[A^,B^]{displaystyle [k{hat {A}},{hat {B}}]=[{hat {A}},k{hat {B}}]=k[{hat {A}},{hat {B}}]}

[A^,[B^,C^]]+[C^,[A^,B^]]+[B^,[C^,A^]]=0{displaystyle [{hat {A}},[{hat {B}},{hat {C}}]]+[{hat {C}},[{hat {A}},{hat {B}}]]+[{hat {B}},[{hat {C}},{hat {A}}]]=0}

量子力学中的各个力学量之间，常用的对易关系有：

以下，x^{displaystyle {hat {x}}}是坐标算符、p^{displaystyle {hat {p}}}是动量算符、L^{displaystyle {hat {L}}}是角动量算符（包括轨道角动量、自旋角动量等），而δij{displaystyle delta _{ij}}是克罗内克δ、ϵijk{displaystyle epsilon _{ijk}}是列維-奇維塔符號。其中i、j、k均可以指代x、y、z三个方向中的任意一个。

对易关系	更具体的形式
[x^i,x^j]=0{displaystyle [{hat {x}}_{i},{hat {x}}_{j}]=0}	[x^,x^]=0{displaystyle [{hat {x}},{hat {x}}]=0}、[x^,y^]=0{displaystyle [{hat {x}},{hat {y}}]=0}
[p^i,p^j]=0{displaystyle [{hat {p}}_{i},{hat {p}}_{j}]=0}	[p^x,p^x]=0{displaystyle [{hat {p}}_{x},{hat {p}}_{x}]=0}、[p^x,p^y]=0{displaystyle [{hat {p}}_{x},{hat {p}}_{y}]=0}
[x^i,p^j]=iℏδij{displaystyle [{hat {x}}_{i},{hat {p}}_{j}]=ihbar delta _{ij}}	[x^,p^x]=iℏ{displaystyle [{hat {x}},{hat {p}}_{x}]=ihbar }、[x^,p^y]=0{displaystyle [{hat {x}},{hat {p}}_{y}]=0}、[y^,p^x]=0{displaystyle [{hat {y}},{hat {p}}_{x}]=0}、[y^,p^y]=iℏ{displaystyle [{hat {y}},{hat {p}}_{y}]=ihbar }
[L^i,L^j]=iℏϵijkL^k{displaystyle [{hat {L}}_{i},{hat {L}}_{j}]=ihbar epsilon _{ijk}{hat {L}}_{k}}	[L^x,L^y]=iℏL^z{displaystyle [{hat {L}}_{x},{hat {L}}_{y}]=ihbar {hat {L}}_{z}}、[L^y,L^z]=iℏL^x{displaystyle [{hat {L}}_{y},{hat {L}}_{z}]=ihbar {hat {L}}_{x}}、[L^z,L^x]=iℏL^y{displaystyle [{hat {L}}_{z},{hat {L}}_{x}]=ihbar {hat {L}}_{y}}

正則對易關係

物理學中，正則對易關係是正則共軛的量之間的關係，這樣的量從定義可以發現：一個量是其共軛量的傅立葉變換的結果。舉例來說：

[x,p]=iℏ{displaystyle [x,p]=ihbar }

上面的x與p分別為一維空間中的一點粒子的位置與動量，而[x,p]=xp−px{displaystyle [x,p]=xp-px}為所謂x{displaystyle x}與p{displaystyle p}的交換算符，i{displaystyle i}是虛數單位，ℏ{displaystyle hbar }為約化普朗克常數，等於h/2π{displaystyle h/2pi }。此一關係常歸功於馬克斯·玻恩，並且此式子暗示了以海森堡為名的不確定性原理。

與古典力學的關係

相對於量子力學，古典物理中所有可觀測量都可對易（交換），而交換算符會是零；然而仍然有類似的關係存在：需將交換子換成泊松括號，且常數iℏ{displaystyle ihbar }換成1{displaystyle 1}：

{x,p}=1{displaystyle {x,p}=1,!}

這樣的觀察導致了保羅·狄拉克提出假設：一般來說，古典的觀測量f,g{displaystyle f,g}其量子對應項f^,g^{displaystyle {hat {f}},{hat {g}}}應滿足

[f^,g^]=iℏ{f,g}^{displaystyle [{hat {f}},{hat {g}}]=ihbar {widehat {{f,g}}},}。

於1927年，赫尔曼·外尔（Hermann Weyl）指出了量子算符與相空間中古典分布之間的對應關係並不成立。不過他倒是提出了一個機制，稱作魏爾量子化（Weyl quantization），為了一種稱作形變量子化（deformation quantization）的量子化方法提供了數學途徑。

相關條目

• 正則量子化


• 正則變換


• 李導數


• 群


• 李代數


• 泊松括號


• 雅可比恆等式