不可數集
不可數集是無窮集合中的一種。一個無窮集合和自然数之間要是不存在一個双射,那麼它就是一個不可數集。集合的不可数性与它的基数密切相关:如果一个集合的基数大于自然数的基数,那么它就是不可数的。
目录
1 定義
2 性质
3 例子
4 参见
5 参考文献
6 外部链接
定義
不可数集有许多等价的定義。一个集合X{displaystyle X}是不可数集,当且仅当以下任何一个条件成立:
- 不存在从X{displaystyle X}到自然数集合的单射函数。
X{displaystyle X}的基数既不是有限的,又不等于ℵ0{displaystyle aleph _{0}}(阿列夫-0,自然数集合的基数)。
X{displaystyle X}的基数严格大于ℵ0{displaystyle aleph _{0}}。
性质
- 如果不可数集X{displaystyle X}是集合Y{displaystyle Y}的子集,则Y{displaystyle Y}是不可数集。
例子
不可数集的最广为人知的例子,是所有实数的集合R{displaystyle mathbb {R} };对角论证法证明了这个集合是不可数的。对角论证法也可以用来证明一些其它的集合是不可数的,例如所有自然数的无穷序列的集合(甚至是所有只由0和1所组成的无穷序列的集合),以及自然数集合的所有子集所组成的集合。R{displaystyle mathbb {R} }的基数通常记为c{displaystyle c}、2ℵ0{displaystyle 2^{aleph _{0}}},或ℶ1{displaystyle beth _{1}}。
康托尔集是R{displaystyle mathbb {R} }的一个不可数子集。它是一个分形,其豪斯多夫维大于零,但小于一(R{displaystyle mathbb {R} }的维数是一)。这是以下事实的一个例子:如果R{displaystyle mathbb {R} }的某個子集有严格大于零的豪斯多夫维,那麼它一定是不可数的。
另外一个不可数集的例子,是所有从R{displaystyle mathbb {R} }到R{displaystyle mathbb {R} }的函数的集合。这个集合比R{displaystyle mathbb {R} }更“不可数”,因为它的基数是ℶ2{displaystyle beth _{2}},它比ℶ1{displaystyle beth _{1}}还要大。
一个更加抽象的例子,是所有可数序数的集合,记为Ω{displaystyle Omega }或ω1{displaystyle omega _{1}}。Ω{displaystyle Omega }的基数记为ℵ1{displaystyle aleph _{1}}。利用选择公理,可以证明ℵ1{displaystyle aleph _{1}}是最小的不可数基数。于是,实数的基数ℶ1{displaystyle beth _{1}},要么等于ℵ1{displaystyle aleph _{1}},要么严格比它大。康托尔是第一个提出ℶ1{displaystyle beth _{1}}是否等于ℵ1{displaystyle aleph _{1}}的问题的人。在1900年,希尔伯特把这个问题作为他的23个问题之一。ℵ1=ℶ1{displaystyle aleph _{1}=beth _{1}}的陈述现在称为连续统假设,現已知道它獨立于集合论的ZF公理(包括选择公理)。
参见
- 可数集
- 阿列夫数
- 自然数
- 单射函数
参考文献
Halmos, Paul,Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).- Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.
外部链接
- 证明R是不可数集
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