核 (代数)
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在归入线性代数的各种数学分支中,同态的核 测量同态不及于单射的程度。
核的定义在不同上下文中采用不同的形式。但是在所有形式中,同态的核是平凡的(在与那个上下文有关的意义上),当且仅当这个同态是单射。同态基本定理(或第一同构定理)是应用于核所定义的商代数的采用了各种形式的一个定理。
目录
1 例子纵览
1.1 线性算子
1.2 群同态
1.3 环同态
1.4 幺半群同态
2 泛代数
例子纵览
线性算子
设 V 和 W 是向量空间并设 T 是从 V 到 W 的线性变换。如果0 W 是 W 的零向量,则 T 的核是单元素集合 {0 W } 的前像;就是说 V 的由被 T 映射到元素 0 W 的那些 V 的元素构成的子集。核通常指示为“ker T ”,或者:
kerT:={v∈V:Tv=0W}.{displaystyle mathop {mathrm {ker} } ,T:={mathbf {v} in V:Tmathbf {v} =mathbf {0} _{W}}{mbox{.}}!}
因为线性变换保持零向量,V 的零向量0 V 必须属于核。变换 T 是单射的,当且仅当它的核只是单元素集合 {0 V }。
ker T 显然总是 V 的子空间。因此,它使谈论商空间 V /(ker T ) 有意义。对向量空间的第一同构定理声称这个商空间自然同构于 T 的像(它是 W 的子空间)。作为结论,V 的维度等于核的维度加上像的维度。
如果 V 和 W 是有限维的向量空间,并且基已经选择好了,则 T 可以用矩阵 M 描述,而这个核可以通过解齐次线性方程组 M v = 0 来计算。在这种表示中,核对应于 M 的零空间。零空间的维度叫做 M 的零化度(nullity)由 M 的纵列数减去 M 的秩得到,这是秩-零化度定理的结论。
解齐次微分方程经常涉及计算特定微分算子的核。例如,为了找到从实数轴到自身的所有二次可微函数 f 使得
x'f ''(x ) + 3f ( x) = f( x),
设 V 是二次可微函数的空间,设 W 是所有函数的空间,定义从 V 到 W 的线性算子 T 为
(T'' f)( x) = x'f''( x) + 3 f (x ) - f (x )
对于在 V 中的 f 而 x 是任意实数。这个微分方程的所有解都在 ker T 中。
你可以用类似方式定义在环之上的模之间的同态的核。这包括了在阿贝尔群之间的同态的核作为特殊情况。这个例子捕捉了在一般阿贝尔范畴内的核的本质;参见核 (范畴论)。
群同态
设 G 和 H 是群并设 f 是从 G 到 H 的群同态。如果 e H 是 H 的单位元,则 f 的核是单元素集合 {e H } 的前像;就是说,G 的由被 f 映射到元素 e H 的所有 G 的元素构成的子集。核通常指示为“ker f ”。或者:
kerf:={g∈G:f(g)=eH}.{displaystyle mathop {mathrm {ker} } f:={gin G:f(g)=e_{H}}{mbox{.}}!}
因为群同态保持单位元素,G 的单位元素 e G 必须属于这个核。同态 f 是单射,当且仅当它的核只是单元素集合{e G }。
ker f 明显不只是 G 的子群,实际上还是正规子群。因此它使谈论商群 G /(ker f ) 有意义。群的第一同构定理声称这个商群自然同构于 f 的像(它是 H 的子群)。
在阿贝尔群的特殊情况下,这以同前面章节的完全同样的方式工作。
环同态
幺半群同态
泛代数
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