自由積
在數學的群論中，自由積（英语：free product，法语：produit libre）是從兩個以上的群構造出一個群的一種操作。兩個群G和H的自由積，是一個新的群G ∗ H。這個群包含G和H為子群，由G和H的元素生成，並且是有以上性質的群之中「最一般」的。自由積一定是無限群，除非G和H其一是平凡群。自由積的構造方法和自由群（由給定的生成元集合所能構造出的最一般的群）相似。
自由積是群範疇中的餘積。
目录
1 建構方式
2 展示
3 性質
4 泛性質
5 共合積
6 參考
建構方式
若G和H是群，以G和H形成的字是以下形式的乘積：
- s1s2⋯sn,{displaystyle s_{1}s_{2}cdots s_{n},}
其中si是G或H的元。這種字可以用以下的操作簡化：
- 除去其中的（G或H的）單位元，
- 將其中的g1g2一對元素以其在G中的積代替，將其中的h1h2一對元素以其在H中的積代替。
每個簡約字都是G的元素和H的元素交替的積，例如：
- g1h1g2h2⋯gkhk.{displaystyle g_{1}h_{1}g_{2}h_{2}cdots g_{k}h_{k}.}
自由積G ∗ H的元素是以G和H形成的簡約字，其上的運算是將兩字接合後簡化。
例如若G是無窮循環群<x>，H是無窮循環群<y>，則G ∗ H的元素是x的冪和y的冪交替的積。此時G ∗ H同構於以x和y生成的自由群。
設(Gi)i∈I{displaystyle (G_{i})_{iin I}}
展示
設
- G=⟨SG∣RG⟩{displaystyle G=langle S_{G}mid R_{G}rangle }
是G的一個展示（SG是生成元的集合，RG是關係元的集合），又設
- H=⟨SH∣RH⟩{displaystyle H=langle S_{H}mid R_{H}rangle }
是H的一個展示。那麼
- G∗H=⟨SG∪SH∣RG∪RH⟩.{displaystyle G*H=langle S_{G}cup S_{H}mid R_{G}cup R_{H}rangle .}
即是G ∗ H是G的生成元和H的生成元所生成，而其關係是G的關係元和H的關係元所組成。（兩者都是不交併。）
性質
- 將Gi0{displaystyle G_{i_{0}}}
自然地映射到∗i∈IGi{displaystyle *_{iin I}G_{i}}
泛性質
設G是群，(Gi)i∈I{displaystyle (G_{i})_{iin I}}
- ϕi0=ϕ∘ιi0{displaystyle phi _{i_{0}}=phi circ iota _{i_{0}}}
其中ιi0:Gi0→∗i∈IGi{displaystyle iota _{i_{0}}colon G_{i_{0}}to *_{iin I}G_{i}}
共合積
共合積（英语：amalgamated (free) product或free product with amalgamation，法语：produit (libre) amalgamé）是自由積的推廣。設G和H是群，又設F是另一個群，並有群同態
ϕ:F→G{displaystyle phi colon Fto G}及 ψ:F→H{displaystyle psi colon Fto H}
對F中所有元素f，在自由積G ∗ H中加入關係
- ϕ(f)ψ−1(f)=e{displaystyle phi (f)psi ^{-1}(f)=e}
便得出其共合積。換言之，在G ∗ H中取最小的正規子群N，使得上式左方的元素都包含在內，則商群
- (G∗H)/N{displaystyle (G*H)/N}
就是共合積G∗FH{displaystyle G*_{F}H}
共合積可視為在群範疇中圖表G←F→H{displaystyle Gleftarrow Frightarrow H}
塞弗特－范坎彭定理指，兩個路徑連通的拓撲空間沿著一個路徑連通子空間接合的併，其基本群是這兩個拓撲空間的基本群的共合積。
共合積及與之相近的HNN擴張，是討論在樹上作用的群的Bass–Serre理論的基本組件。
參考
PlanetMath上Free product的資料。
PlanetMath上Free product with amalgamated subgroup的資料。
Pierre de la Harpe. Topics in Geometric Group Theory. Chicago and London: The University of Chicago Press. 2000. ISBN 0-226-31721-8.
