Cfxtrjtrk

20÷5=4{displaystyle 20div 5=4}

数学中，尤其是在基本计算裏，除法可以看成是「乘法的反运算」，也可以理解为「重复的减法」。除法运算的本质就是「把参与运算的除数变为1{displaystyle 1}，得出被除数的值」。

例如：6÷3=2{displaystyle 6div 3=2}，就好像6−3−3=0{displaystyle 6-3-3=0}，
{6−3=33−3=0{displaystyle {begin{cases}6-3=3\3-3=0end{cases}}}，6{displaystyle 6}被3{displaystyle 3}減了兩次後，就變成了0{displaystyle 0}。

如果

a×b=c{displaystyle atimes b=c}

而且b{displaystyle b}不等于零，那么

a=c÷b{displaystyle a=cdiv b}

其中，a称为商数，b称为除数，c称为被除数。

如果除式的商數（a{displaystyle a}）必須是整數，则称为带餘除法，a×b{displaystyle atimes b}与c{displaystyle c}相差的数值，称为餘數（d{displaystyle d}）。

c÷b=a…d{displaystyle cdiv b=adots d}

這也意味著

c=a×b+d{displaystyle c=atimes b+d}

在高等数学（包括在科学与工程学中）和计算机编程语言中，c÷b{displaystyle cdiv b}写成c/b{displaystyle c/b}。如果我们不需要知道确切值或者留待以后引用，这种形式也常常是称之为分数的最终形式。其中尋找商數的函數為div{displaystyle operatorname {div} }，尋找餘數的函數則為mod{displaystyle operatorname {mod} }。

在大部分的非英语语言中，c:b{displaystyle c:b}代表c÷b{displaystyle cdiv b}的比，讀做c比b；c/b{displaystyle c/b}則代表c÷b{displaystyle cdiv b}的比值。用法请参照比例。

整除

整除是数学中两个自然数之间的一种关系。自然数a{displaystyle a}可以被自然数b{displaystyle b}整除，是指b{displaystyle b}是a{displaystyle a}的因數，且a是b的整数倍数，也就是a{displaystyle a}除以b{displaystyle b}没有餘数。

a÷b=q…0{displaystyle adiv b=qdots 0}

因數判別法可參照整除規則。

表示法

b∣a{displaystyle bmid a}表示b{displaystyle b}整除a{displaystyle a}，即a{displaystyle a}是b{displaystyle b}的倍数，b{displaystyle b}是a{displaystyle a}的因数。

举例

15{displaystyle 15}可以被5{displaystyle 5}整除，记作5∣15{displaystyle 5mid 15}。

20{displaystyle 20}不能被6{displaystyle 6}整除（因为餘数为2{displaystyle 2}），记作6∤20{displaystyle 6nmid 20}。在∣{displaystyle mid }上加一条斜线即表示不整除⋯⋯

除法计算

根据乘法表，两个整数可以用长除法（直式除法）笔算。如果被除数有分数部分（或者说时小数点），计算时将小数点带下来就可以；如果除数有小数点，将除数与被除数的小数点同时移位，直到除数没有小数点。

算盘也可以做除法运算。

長除法

長除法俗稱「長除」，適用於正式除法、小數除法、多項式除法（即因式分解）等較重視計算過程和商數的除法，過程中兼用了乘法和減法。

使用長除法計算1260257÷37{displaystyle 1260257div 37}：

1260257÷37{displaystyle 1260257div 37}的演算過程

37 )34061 1260257111150  148  225  222  37370{displaystyle {begin{array}{l}37 {big )}\\\\\\\\end{array}}!!!!!{begin{array}{r}34061\hline 1260257\111quad quad \hline 150quad \148quad \hline 225 \222 \hline 37\37\hline 0\end{array}}}

短除法

短除法是長除法的簡化版本。在短除法裏，被除數放中央，旁以一L型符號表示除法，被除數左側為除數，下側為商，省去了長除法逐層計算的過程。

• 使用短除法計算3÷7{displaystyle 3div 7}的近似值：

7 | 3.00000000000000000… _0.42857142857142857… {displaystyle {begin{array}{r}7 |!{underline {, 3.00000000000000000dots }}\0.42857142857142857dots end{array}}}

• 使用短除法計算420{displaystyle 420}的質因數分解：

2 |   420 _2 |  210 _3 | 105 _5 | 35 _7 {displaystyle {begin{array}{r}2 |!{underline {, 420 }}\2 |!{underline {, 210 }}\3 |!{underline {, 105 }}\5 |!{underline {, 35 }}\7 end{array}}}

420=22×3×5×7{displaystyle 420=2^{2}times 3times 5times 7}

• 使用短除法計算420,270{displaystyle 420,270}的最大公因數及最小公倍數：

2 |   420270 _3 |  210135 _5 | 70  45 _14    9 {displaystyle {begin{array}{r}2 |!{underline {, 420quad 270 }}\3 |!{underline {, 210quad 135 }}\5 |!{underline {, 70quad 45 }}\14quad 9 end{array}}}

{gcd(420,270)=2×3×5=30lcm⁡(420,270)=2×3×5×14×9=3780{displaystyle {begin{cases}gcd(420,270)=2times 3times 5=30\operatorname {lcm} (420,270)=2times 3times 5times 14times 9=3780end{cases}}}

多項式的除法

和整数之间的带余除法类似，一元多项式之间也可以进行带余除法。可以证明，设有多项式A{displaystyle A}和非零多项式B{displaystyle B}，则存在唯一的多项式Q{displaystyle Q}和R{displaystyle R}，满足：

A=BQ+R{displaystyle A=BQ+R}

而多项式R{displaystyle R}若非零多项式，則其冪次严格小于B{displaystyle B}的冪次。

作为特例，如果要计算某个多项式P{displaystyle P}除以一次多项式X−a{displaystyle X-a}得到的餘多项式，可以直接将a{displaystyle a}代入到多项式P{displaystyle P}中。P{displaystyle P}除以X−a{displaystyle X-a}的餘多项式是P(a){displaystyle P(a)}。

具体的计算可以使用类似直式除法的方式。例如，计算X3−12X2−42{displaystyle X^{3}-12X^{2}-42}除以X−3{displaystyle X-3}，列式如下：

X2−9X−27X−3|X3−12X2+0X−42¯X3−3X2_−9X2+0X−9X2+27X_−27X−42−27X+81_−123{displaystyle {begin{matrix}qquad quad ;,X^{2};-9Xquad -27\qquad quad X-3{overline {vert X^{3}-12X^{2}+0X-42}}\;;{underline {;;X^{3}-;;3X^{2}}}\qquad qquad quad ;-9X^{2}+0X\qquad qquad quad ;{underline {-9X^{2}+27X}}\qquad qquad qquad qquad qquad -27X-42\qquad qquad qquad qquad qquad {underline {-27X+81}}\qquad qquad qquad qquad qquad qquad ;;-123end{matrix}}}

因此，商式是 X2−9X−27{displaystyle X^{2}-9X-27}，餘式是 −123{displaystyle -123}。

重要性質

通常不定义除以零这种形式。亦即當除以0 或分數的分母為0 時，該式或該數無意義。

参见

• 筹算除法


• 同餘


• 余数


• 带餘除法

查 论 编 分數 & 比率 除法 ＆比例 被除數 : 除數 = 商數 分數 分子/分母=商數 代數 Aspect 连分数 十进制 二进分数 古埃及分數 黄金分割率 白銀比例 整数 最简分数 精簡 最小公分母 音程 百分比 單位分數