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  本條目介紹的是线性代数中的概念。關於遗传学中的概念，請見“杂交种”。

线性代数

A=[1234]{displaystyle mathbf {A} ={begin{bmatrix}1&2\3&4end{bmatrix}}}

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線段AB與CD彼此正交

正交是线性代数的概念，是垂直這一直觀概念的推廣。作為一個形容詞，只有在一個確定的內積空間中才有意義。若內積空間中兩向量的內積為0，則稱它們是正交的。如果能夠定義向量間的夾角，則正交可以直觀的理解為垂直。物理中：運動的獨立性，也可以用正交來解釋。

各种正交概念

正交子空间

若某空间（此空间为内积空间）中两向量的内积为0，则它们正交。类似地，若某空间（内积空间）中的向量v与子空间A中的每个向量都正交，那么这个向量和子空间A正交。若内积空间的子空间A和B满足一者中的每个向量都与另一者正交，那么它们互为正交子空间。

正交变换

正交变换T:V→V{displaystyle T:Vrightarrow V}是保持内积的线性变换。即是说，对两个向量，它们的内积等于它们在函数T下的内积：

⟨Tx,Ty⟩=⟨x,y⟩.{displaystyle langle Tx,Tyrangle =langle x,yrangle .}

这也就是说，正交变换保持向量的长度不变，也保持两个向量之间的角度不变。

欧几里得空间的例子

在二维或三维的欧几里得空间中，两个向量正交当且仅当他们的点积为零，即它们成90°角。可以看出正交的概念正是在此基础上推广而来的。三维空间中，一条直线的正交子空间是一个平面，反之亦然。四维空间中，一条直线的正交子空间则是一个超平面。

正交函数集

对于两个函数f 和g，可以定义如下的内积：

⟨f,g⟩w=∫abf(x)g(x)w(x)dx.{displaystyle langle f,grangle _{w}=int _{a}^{b}f(x)g(x)w(x),dx.}

这里引进一个非负的权函数w(x){displaystyle w(x)}。这个内积叫做带权w(x){displaystyle w(x)}的内积。

两个函数带权w(x){displaystyle w(x)}正交，是指它们带权w(x){displaystyle w(x)}的内积为零。

∫abf(x)g(x)w(x)dx=0.{displaystyle int _{a}^{b}f(x)g(x)w(x),dx=0.}

由此可以类似定义带权w(x){displaystyle w(x)}的模。

||f||w=⟨f,f⟩w{displaystyle ||f||_{w}={sqrt {langle f,frangle _{w}}}}

一个函数列{ f_i : i = 1, 2, 3, ... }如果满足：

⟨fi,fj⟩=∫−∞∞fi(x)fj(x)w(x)dx=||fi||2δi,j=||fj||2δi,j{displaystyle langle f_{i},f_{j}rangle =int _{-infty }^{infty }f_{i}(x)f_{j}(x)w(x),dx=||f_{i}||^{2}delta _{i,j}=||f_{j}||^{2}delta _{i,j}}

其中

δi,j={1if i=j0if i≠j{displaystyle delta _{i,j}={begin{cases}1&mathrm {if} i=j\0&mathrm {if} ineq jend{cases}}}

为克罗内克函数，
那麼{ f_i}就称为带权w(x){displaystyle w(x)}的正交函数族。

進一步地，如果{ f_i}满足：

⟨fi,fj⟩=∫−∞∞fi(x)fj(x)w(x)dx=δi,j{displaystyle langle f_{i},f_{j}rangle =int _{-infty }^{infty }f_{i}(x)f_{j}(x)w(x),dx=delta _{i,j}}

就称{ f_i}为带权w(x){displaystyle w(x)}的标准正交函数族。

参见正交多项式。

参看

• 
  正交化
  
  • Gram-Schmidt正交化
  
  


• 正交分解


• 正交矩阵


• 正交基


• 垂直

外部連結