正交
本條目介紹的是线性代数中的概念。關於遗传学中的概念，請見“杂交种”。
線段AB與CD彼此正交
正交是线性代数的概念，是垂直這一直觀概念的推廣。作為一個形容詞，只有在一個確定的內積空間中才有意義。若內積空間中兩向量的內積為0，則稱它們是正交的。如果能夠定義向量間的夾角，則正交可以直觀的理解為垂直。物理中：運動的獨立性，也可以用正交來解釋。
目录
1 各种正交概念
1.1 正交子空间
1.2 正交变换
2 欧几里得空间的例子
3 正交函数集
4 参看
5 外部連結
各种正交概念
正交子空间
若某空间（此空间为内积空间）中两向量的内积为0，则它们正交。类似地，若某空间（内积空间）中的向量v与子空间A中的每个向量都正交，那么这个向量和子空间A正交。若内积空间的子空间A和B满足一者中的每个向量都与另一者正交，那么它们互为正交子空间。
正交变换
正交变换T:V→V{displaystyle T:Vrightarrow V}
- ⟨Tx,Ty⟩=⟨x,y⟩.{displaystyle langle Tx,Tyrangle =langle x,yrangle .}
这也就是说，正交变换保持向量的长度不变，也保持两个向量之间的角度不变。
欧几里得空间的例子
在二维或三维的欧几里得空间中，两个向量正交当且仅当他们的点积为零，即它们成90°角。可以看出正交的概念正是在此基础上推广而来的。三维空间中，一条直线的正交子空间是一个平面，反之亦然。四维空间中，一条直线的正交子空间则是一个超平面。
正交函数集
对于两个函数f 和g，可以定义如下的内积：
- ⟨f,g⟩w=∫abf(x)g(x)w(x)dx.{displaystyle langle f,grangle _{w}=int _{a}^{b}f(x)g(x)w(x),dx.}
这里引进一个非负的权函数w(x){displaystyle w(x)}
两个函数带权w(x){displaystyle w(x)}
- ∫abf(x)g(x)w(x)dx=0.{displaystyle int _{a}^{b}f(x)g(x)w(x),dx=0.}
由此可以类似定义带权w(x){displaystyle w(x)}
- ||f||w=⟨f,f⟩w{displaystyle ||f||_{w}={sqrt {langle f,frangle _{w}}}}
一个函数列{ fi : i = 1, 2, 3, ... }如果满足：
- ⟨fi,fj⟩=∫−∞∞fi(x)fj(x)w(x)dx=||fi||2δi,j=||fj||2δi,j{displaystyle langle f_{i},f_{j}rangle =int _{-infty }^{infty }f_{i}(x)f_{j}(x)w(x),dx=||f_{i}||^{2}delta _{i,j}=||f_{j}||^{2}delta _{i,j}}
其中
- δi,j={1if i=j0if i≠j{displaystyle delta _{i,j}={begin{cases}1&mathrm {if} i=j\0&mathrm {if} ineq jend{cases}}}
为克罗内克函数，
那麼{ fi}就称为带权w(x){displaystyle w(x)}
進一步地，如果{ fi}满足：
- ⟨fi,fj⟩=∫−∞∞fi(x)fj(x)w(x)dx=δi,j{displaystyle langle f_{i},f_{j}rangle =int _{-infty }^{infty }f_{i}(x)f_{j}(x)w(x),dx=delta _{i,j}}
就称{ fi}为带权w(x){displaystyle w(x)}
参见正交多项式。
参看
正交化
- Gram-Schmidt正交化
- 正交分解
- 正交矩阵
- 正交基
- 垂直
