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群论

群 基本概念 子群 · 正规子群 · 商群 群同态 像 · (半)直积 · 直和 单群 · 有限群 · 无限群 拓扑群 · 群概形 · 循环群 冪零群 · 可解群 离散群 有限单群分类 循环群 Zn 交错群 An 散在群 马蒂厄群 M11..12,M22..24 康威群 Co1..3 扬科群 J1..4 费歇尔群 F22..24 子怪兽群 B 怪兽群 M 其他有限群 对称群, Sn 二面体群, Dn 无限群 整数, Z 模群, PSL(2,Z) 和 SL(2,Z) 连续群 李群 一般线性群 GL(n) 特殊线性群 SL(n) 正交群 O(n) 特殊正交群 SO(n) 酉群 U(n) 特殊酉群 SU(n) 辛群 Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 勞侖茲群 庞加莱群 无限维群 共形群 微分同胚群 环路群 量子群 O(∞) SU(∞) Sp(∞) 代数群 椭圆曲线 线性代数群（英语：Linear algebraic group） 阿贝尔簇（英语：Abelian variety）

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在抽象代数中，正规子群或不变子群指一类特殊的子群。由正规子群，可以引导出商群的概念。

埃瓦里斯特·伽罗瓦是最早认识到正规子群的重要性的人。

定义

群G的子群N是正規子群，如果它在共轭变换下不變；就是說對於每個N中元素n和每個G中的元素g，元素gng⁻¹仍在N中。我們寫為

N◃G⇔∀n∈N,∀g∈G ,gng−1∈N{displaystyle Ntriangleleft G,,Leftrightarrow ,forall ,nin {N},forall ,gin {G} ,gng^{-1}in {N}}

下列條件等價於子群N在G中是正規子群。其中任何一個都可以用作定義：

1. 
   N 在 G 的元素誘導的共轭变换下不變，即對於G中的所有g，gNg⁻¹ ⊆ N。


2. 
   N 在 G 的元素誘導的共轭变换下的象集为自己的子集，即對於G中的所有g，gNg⁻¹ = N。


3. 
   N在G中的左陪集的集合和右陪集的集合是一致的。


4. 對於G中的所有g，gN = Ng。


5. 
   N是G的若干共軛類的并集。


6. 
   G 中的任何两个元素，在相乘后是正规子群成员的关系下是可交换的，即 ∀g,h∈G,gh∈N⟺hg∈N{displaystyle forall g,hin G,ghin Niff hgin N}。


7. 存在以N為核的G的群同態：∃ϕ∈Hom(G):kerϕ=N{displaystyle exists phi in mathrm {Hom} (G):mathrm {ker} phi =N}。

注意條件（1）邏輯上弱於條件（2），條件（3）邏輯上弱於條件（4）。為此，條件（1）和條件（3）經常用來證明N在G中是正規子群，而條件（2）和（4）用來證明N在G中是正規子群的推論。

陪集和正規子群

给定一个群G，以及G的一个子群H，G的一个元素a，集合：

aH={ax|x∈H}{displaystyle aH=left{ax|xin Hright}}称作H关于a的左陪集。a叫做aH的代表元。

类似地，可以定义H关于a的右陪集：

Ha={xa|x∈H}{displaystyle Ha=left{xa|xin Hright}}。

可以证明：对于G中的两个元素a、b，(a−1b∈H)⟺(aH∩bH≠∅)⟺(aH=bH){displaystyle (a^{-1}bin H)Longleftrightarrow (aHcap bHneq varnothing )Longleftrightarrow (aH=bH)}。因此aH和bH只有两种关系：相等，或交集为空，即aH=bH{displaystyle aH=bH}或者aH∩bH=∅{displaystyle aHcap bH=varnothing }。

于是群G可以被分解成：

G=⋃a∈GaH{displaystyle G=bigcup _{ain G}aH}

这个分解称作群G的左陪集分解。类似地有群G的右陪集分解：

G=⋃a∈GHa{displaystyle G=bigcup _{ain G}Ha}

进一步地，可以证明由a∼b⟺a−1b∈H{displaystyle asim bLongleftrightarrow a^{-1}bin H}所定义的关系是一个等价关系，集合中的每个等价关系都可确定一个等价类，因此每个aH{displaystyle aH}是一个等价类。每个aH{displaystyle aH}中含有的元素个数是相等的。

此外，群G的左陪集分解与群G的右陪集分解间存在同构：

τ:aH↦Ha−1{displaystyle tau :aHmapsto Ha^{-1}}

因此H的左陪集个数和右陪集个数是相等的，叫做H对G的指数。

对于一般的H，集合{aH|a∈G}{displaystyle left{aH|ain Gright}}关于子集的积并不是一个群。对于G中的元素a、b，子集的积aH×bH=abH{displaystyle aHtimes bH=abH}，但对于a′∈aH,b′∈bH{displaystyle a^{prime }in aH,b^{prime }in bH}，不一定有a′H×b′H=abH{displaystyle a^{prime }Htimes b^{prime }H=abH}。群G的正规子群或不变子群H使得{aH|a∈G}{displaystyle left{aH|ain Gright}}关于子集的积是這個群的子群。这时H的左陪集和右陪集是一样的，统称陪集。陪集组成的群叫做G关于H的商群，记作GH{displaystyle {frac {G}{H}}}。商群的目数等于H对G的指数。

例子

• {e}和G自身总是G的正规子群。如果G只有这两个正规子群，就叫做简单群。

• 群G的中心是G的正规子群。


• 群G的交换子群是G的正规子群。


• 一个阿贝尔群（或交换群）的所有子群都是它的正规子群，因为显然有gH = Hg。不是阿贝尔群，但全部子群都是正规子群的群叫做哈密尔顿群（Hamiltonian group），阶数最小的例子是四元数单位±1,±i±j,±k{displaystyle pm 1,pm ipm j,pm k}对乘法构成的群Q8{displaystyle Q_{8}}。


• 任何有限维欧几里得空间中，平移群都是欧几里得群的正规子群。比如说在3维空间中，先旋转，平移，再作原来旋转的逆，结果是原来的平移。先做镜面对称，平移，再作原来镜面对称的逆，还是原来的平移。将平移按长度分类，就得到一个等价类。平移群是各种长度的平移的并集。

性质

• 满同态保持正规子群的性质，逆映射也是一样。

• 
  直积保持正规子群的性质。


• 
  G的正规子群的正规子群不一定是G的正规子群，即是说正规子群没有传递性。但是，G的正规子群的特征子群总是G的正规子群。


• 
  G的所有2阶的子群都是正规子群。G中每个阶为n的子群都包含一个G的正规子群K，它对G的阶整除n!。特别地，当p是|G|的最小质因数时，G的所有p阶的子群都是正规子群。

参见

• 群


• 子群


• 正规闭包


• 中心化子和正规化子


• 特征子群


• 等价类


• 可解群


• 同构基本定理


• 理想