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雪花有正六邊形的二面體對稱。

群论

群 基本概念 子群 · 正规子群 · 商群 群同态 像 · (半)直积 · 直和 单群 · 有限群 · 无限群 拓扑群 · 群概形 · 循环群 冪零群 · 可解群 离散群 有限单群分类 循环群 Zn 交错群 An 散在群 马蒂厄群 M11..12,M22..24 康威群 Co1..3 扬科群 J1..4 费歇尔群 F22..24 子怪兽群 B 怪兽群 M 其他有限群 对称群, Sn 二面体群, Dn 无限群 整数, Z 模群, PSL(2,Z) 和 SL(2,Z) 连续群 李群 一般线性群 GL(n) 特殊线性群 SL(n) 正交群 O(n) 特殊正交群 SO(n) 酉群 U(n) 特殊酉群 SU(n) 辛群 Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 勞侖茲群 庞加莱群 无限维群 共形群 微分同胚群 环路群 量子群 O(∞) SU(∞) Sp(∞) 代数群 椭圆曲线 线性代数群（英语：Linear algebraic group） 阿贝尔簇（英语：Abelian variety）

查 论 编

在數學中，二面體群 D2n{displaystyle D_{2n}} 是正 n{displaystyle n} 邊形的對稱群，具有 2n{displaystyle 2n} 個元素。某些書上則記為 Dn{displaystyle D_{n}}。除了 n=2{displaystyle n=2} 的情形外，D2n{displaystyle D_{2n}} 都是非交換群。

生成元與關係

抽象言之，首先考慮 n{displaystyle n} 階循環群 Cn{displaystyle C_{n}}。反射 τ:x↦x−1{displaystyle tau :xmapsto x^{-1}} 是 Cn{displaystyle C_{n}} 上的自同構，而且 τ2=id{displaystyle tau ^{2}={rm {id}}}。定義二面體群為半直積

D2n=Cn⋊{e,τ}{displaystyle D_{2n}=C_{n}rtimes {e,tau }}

任取 Cn{displaystyle C_{n}} 的生成元 σ{displaystyle sigma }，D2n{displaystyle D_{2n}} 由 σ,τ{displaystyle sigma ,tau } 生成，其間的關係是

σn=e,τ2=e,τστ=σ−1{displaystyle sigma ^{n}=e,tau ^{2}=e,tau sigma tau =sigma ^{-1},}

D2n{displaystyle D_{2n}} 的元素均可唯一地表成 σkτh{displaystyle sigma ^{k}tau ^{h}}，其中 0≤k<n{displaystyle 0leq k<n}，h=0,1{displaystyle h=0,1,}。

幾何詮釋

n=5 的情形：反射對稱

n=5 的情形：旋轉對稱

二面體群也可以詮釋為二維正交群 O(2){displaystyle O(2)} 中由

σ:=(cos⁡2πn−sin⁡2πnsin⁡2πncos⁡2πn){displaystyle sigma :={begin{pmatrix}cos {2pi over n}&-sin {2pi over n}\sin {2pi over n}&cos {2pi over n}end{pmatrix}}} （旋轉 2πn{displaystyle {frac {2pi }{n}}} 弧度）

τ:=(100−1){displaystyle tau :={begin{pmatrix}1&0\0&-1end{pmatrix}}} （對 x 軸反射）

生成的子群。由此不難看出 D2n{displaystyle D_{2n}} 是正 n 邊形的對稱群。

性質

• 
  D2n{displaystyle D_{2n}} 的中心在 n{displaystyle n} 為奇數時是 {e}{displaystyle {e}}，在 n{displaystyle n} 為偶數時是 {e,σn/2}{displaystyle {e,sigma ^{n/2}}}。


• 當 n{displaystyle n} 為奇數時，D4n{displaystyle D_{4n}} 同構於 D2n{displaystyle D_{2n}} 與二階循環群的直積。同構可由下式給出：

σk+ϵnτh↦(σkτh,ϵ){displaystyle sigma ^{k+epsilon n}tau ^{h}mapsto (sigma ^{k}tau ^{h},epsilon )}

其中 h,ϵ=0,1{displaystyle h,epsilon =0,1}，0≤k<n{displaystyle 0leq k<n}。

• 當 n{displaystyle n} 為奇數時，D2n{displaystyle D_{2n}} 的所有反射（即：二階元素）彼此共軛；當 n{displaystyle n} 為偶數，則反射元在共軛作用下分解成兩個軌道；從幾何方面解釋，二者差意在於反射面是否通過正 n{displaystyle n} 邊形的頂點。


• 若 m|n{displaystyle m|n}，則 D2m≤D2n{displaystyle D_{2m}leq D_{2n}}，由此可導出 D2n{displaystyle D_{2n}} 共有 d(n)+σ(n){displaystyle d(n)+sigma (n)} 個子群，其中的算術函數 d(n){displaystyle d(n)} 與 σ(n){displaystyle sigma (n)} 分別代表 n{displaystyle n} 的正因數個數與正因數之和。

表示

當 n{displaystyle n} 為奇數時，Dn{displaystyle D_{n}} 有兩個一維不可約表示：

τ↦(−1)k,σ↦1(k=0,1){displaystyle tau mapsto (-1)^{k},;sigma mapsto 1quad (k=0,1)}

當 n{displaystyle n} 為偶數時，Dn{displaystyle D_{n}} 有四個一維不可約表示：

e{displaystyle e}

σ{displaystyle sigma }

σ2{displaystyle sigma ^{2}}

σ3{displaystyle sigma ^{3}}

σ4{displaystyle sigma ^{4}}

σ5{displaystyle sigma ^{5}}

σ6{displaystyle sigma ^{6}}

σ7{displaystyle sigma ^{7}}

τ{displaystyle tau }

στ{displaystyle sigma tau }

σ2τ{displaystyle sigma ^{2}tau }

σ3τ{displaystyle sigma ^{3}tau }

σ4τ{displaystyle sigma ^{4}tau }

σ5τ{displaystyle sigma ^{5}tau }

σ6τ{displaystyle sigma ^{6}tau }

σ7τ{displaystyle sigma ^{7}tau }

正八邊形的停車標誌在D8{displaystyle D_{8}}的群作用下的結果

τ↦(−1)k,σ↦(−1)h(k,h=0,1){displaystyle tau mapsto (-1)^{k},sigma mapsto (-1)^{h}quad (k,h=0,1)}

其餘不可約表示皆為二維，共有 ⌊n/2⌋{displaystyle lfloor n/2rfloor } 個，形如下式：

σ↦(ωh00ω−h)τ↦(0−1−10){displaystyle sigma mapsto {begin{pmatrix}omega ^{h}&0\0&omega ^{-h}end{pmatrix}};tau mapsto {begin{pmatrix}0&-1\-1&0end{pmatrix}}}

其中 ω{displaystyle omega } 是任一 n 次本原單位根，h{displaystyle h} 過 Z/nZ{displaystyle mathbb {Z} /nmathbb {Z} }。由 h1,h2{displaystyle h_{1},h_{2}} 給出的表示相等價若且唯若 h1+h2≡0modn{displaystyle h_{1}+h_{2}equiv 0mod n}。

文獻